多値論理とファジィ論理

多値論理とファジィ論理は、古典的な2つの真理値を、3つ、有限個、または連続的な程度の真理値に置き換えるものであり、主に曖昧さや境界事例をモデル化するために用いられます。

Definition

多値論理は、2つ以上の真理値を認める論理です。特にファジィ論理は、文に0から1までの実数区間における真理の度合いを割り当て、結合子はこれらの度合いに対する関数によって計算されます。

Scope

このトピックでは、二値性を放棄し、追加の真理値または連続的な多数の真理値を用いる論理を扱います。ルカシェヴィチとクレーネの三値システム、ザデーのファジィ集合と度合い理論的論理、これらのツールをソリテス・パラドックスと曖昧さへの応用、そして曖昧さに対する対抗的なアプローチ — 超評価主義（真理値ギャップ）と認識主義（明確だが未知の境界）— が、真理の度合いが適切な対応策であるかどうかに焦点を当てて論じられます。

Core questions

• 曖昧さは、追加の真理値、真理値ギャップ、あるいはそのどちらでもない方法でモデル化されるべきでしょうか？
• 古典的な結合子は、多数または連続的な多数の真理値にどのように一般化されるのでしょうか？
• ファジィ論理はソリテス・パラドックスを解決するのでしょうか、それとも単に高次の曖昧さとして問題を再配置するだけなのでしょうか？
• 境界事例について、事実関係があるのでしょうか（認識主義）、それともないのでしょうか？

Key concepts

• 二値性とその否定
• 三値論理
• 真理の度合い
• ファジィ集合
• ソリテス・パラドックス
• 高次の曖昧さ

Key theories

ファジィ（度合い理論的）論理

ザデーのファジィ集合に基づいて、曖昧な述語には[0,1]の範囲で真理の度合いが割り当てられ、連言、選言、否定はそれぞれmin、max、補集合によって与えられ、境界事例は中間的な値を取ります。

超評価主義

ファインは、曖昧な文を、言語を厳密にするあらゆる許容可能な方法で真となる場合にのみ超真であると扱い、古典論理を維持しつつ、真理の度合いを採用することなく境界事例に対して真理値ギャップを許容します。

History

ルカシェヴィチは1920年代に未来の偶発事象を扱うために三値論理を導入し、クレーネは部分関数のための三値論理を提唱しました。ザデーの1965年のファジィ集合はこれを連続的な度合いに一般化し、曖昧さに応用されました。ファインの1975年の超評価主義とウィリアムソンの1994年の認識主義は、影響力のある代替案を提示しました。

Debates

曖昧さのモデル化方法

曖昧さが真理の度合い（ファジィ論理）、古典論理を維持した真理値ギャップ（超評価主義）、あるいは二値性を保持した明確だが認識不可能な境界（認識主義）のいずれを必要とするのか、そしてどれがソリテス・パラドックスと高次の曖昧さを最もよく扱うのかについて。

Key figures

• Jan Lukasiewicz
• Stephen Kleene
• Lotfi Zadeh
• Kit Fine
• Timothy Williamson

Seminal works

• zadeh1965
• fine1975
• williamson1994

Frequently asked questions

ファジィ論理はソリテス・パラドックスを解決しますか？

ファジィ論理は一つのアプローチを提供します。山から砂粒を取り除くにつれて、「これは山である」という文の真理の度合いは、真から偽へと急激に変化するのではなく、徐々に低下します。批評家は、これは問題を再配置するだけであり、ファジィ論理は依然として正確な数値的度合いを必要とし、それらの度合いがどこにあるかについての高次の曖昧さに直面すると反論しています。