स्टर्म-लिउविल सिद्धांत
स्टर्म-लिउविल सिद्धांत द्वितीय-कोटि की रैखिक सीमा मान समस्याओं के एक वर्ग का विश्लेषण करता है जिनके आइगेनमान वास्तविक और असतत होते हैं तथा जिनके आइगेनफलन एक पूर्ण लांबिक आधार बनाते हैं।
Definition
एक स्टर्म-लिउविल समस्या एक प्राचल के मानों की तलाश करती है जिसके लिए समीकरण माइनस (p y प्राइम) प्राइम प्लस q y बराबर लैम्डा w y दिए गए सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाला एक गैर-तुच्छ समाधान रखता है; स्वीकार्य प्राचल आइगेनमान होते हैं और संबंधित समाधान आइगेनफलन होते हैं।
Scope
यह विषय स्व-संलग्न स्टर्म-लिउविल रूप, नियमित और विलक्षण समस्याओं, आइगेनमानों की वास्तविकता और क्रम, आइगेनफलनों के दोलन और अंतर्विन्यास, एक भार के संबंध में लांबिकता, और आइगेनफलन विस्तारों को शामिल करता है जो फूरियर श्रृंखला को सामान्यीकृत करते हैं और शास्त्रीय लांबिक बहुपद और विशेष फलन उत्पन्न करते हैं।
Core questions
- किसी दिए गए सीमा मान समस्या के आइगेनमान और आइगेनफलन क्या हैं?
- आइगेनमान वास्तविक और आइगेनफलन लांबिक क्यों होते हैं?
- nवें आइगेनफलन में कितने शून्य होते हैं, और वे कैसे वितरित होते हैं?
- एक मनमाना फलन को आइगेनफलनों में कब विस्तारित किया जा सकता है?
Key theories
- नियमित स्टर्म-लिउविल समस्याओं के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय
- एक नियमित स्व-संलग्न स्टर्म-लिउविल समस्या में अनंत रूप से कई वास्तविक आइगेनमान होते हैं जो अनंत तक बढ़ते हैं, जिनके आइगेनफलन भार के तहत लांबिक होते हैं और विस्तारों के लिए एक पूर्ण आधार बनाते हैं।
- स्टर्म दोलन और तुलना प्रमेय
- nवें आइगेनमान से संबंधित आइगेनफलन में ठीक n आंतरिक शून्य होते हैं, और स्टर्म का तुलना प्रमेय संबंधित समीकरणों के समाधानों के शून्यों को संबंधित करता है।
- आइगेनफलन विस्तार
- क्योंकि आइगेनफलन एक पूर्ण लांबिक प्रणाली बनाते हैं, उपयुक्त फलन उनमें श्रृंखला के रूप में विस्तारित होते हैं, जो फूरियर श्रृंखला को सामान्यीकृत करते हैं और आंशिक अवकल समीकरणों के लिए चर पृथक्करण का आधार बनते हैं।
Clinical relevance
स्टर्म-लिउविल समस्याएं तब उत्पन्न होती हैं जब चर पृथक्करण की विधि का उपयोग ऊष्मा, तरंग और श्रोडिंगर समीकरणों पर किया जाता है, और उनके आइगेनफलन प्राकृतिक कंपन मोड और क्वांटम अवस्थाएँ होती हैं; यह सिद्धांत अनुप्रयुक्त गणित में उपयोग किए जाने वाले शास्त्रीय लांबिक बहुपदों को भी उत्पन्न करता है।
History
स्टर्म और लिउविल ने 1836-1837 के आसपास पत्रों की एक श्रृंखला में इस सिद्धांत को विकसित किया, जिसमें सीमा मान समस्याओं के लिए आइगेनमानों और आइगेनफलनों के गुणात्मक व्यवहार को स्थापित किया गया। वेइल ने बीसवीं सदी की शुरुआत में इसे विलक्षण समस्याओं तक विस्तारित किया, इसे हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों के स्पेक्ट्रल सिद्धांत से जोड़ा।
Key figures
- Jacques Charles Francois Sturm
- Joseph Liouville
- Hermann Weyl
- David Hilbert
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Seminal works
- zettl2010
- courant1953
Frequently asked questions
- स्टर्म-लिउविल सिद्धांत फूरियर श्रृंखला को कैसे सामान्यीकृत करता है?
- फूरियर श्रृंखला के साइन और कोसाइन एक अंतराल पर सबसे सरल स्टर्म-लिउविल समस्या के आइगेनफलन होते हैं। अधिक सामान्य गुणांक और भार अन्य पूर्ण लांबिक परिवारों को उत्पन्न करते हैं, जैसे लेजेंड्रे, हर्मिट और बेसेल फलन, जिनके अपने विस्तार होते हैं।
- आइगेनमानों के वास्तविक होने की गारंटी क्यों है?
- जब उचित सीमा शर्तों के साथ स्व-संलग्न रूप में लिखा जाता है, तो स्टर्म-लिउविल ऑपरेटर भारित आंतरिक गुणनफल के संबंध में सममित होता है। सममित ऑपरेटरों के वास्तविक आइगेनमान और लांबिक आइगेनफलन होते हैं, ठीक वैसे ही जैसे सममित आव्यूहों के होते हैं।