फूरियर श्रेणी
एक फूरियर श्रेणी एक आवधिक फलन को ज्या और कोज्या के योग के रूप में विस्तारित करती है, इसे इसकी मूलभूत आवृत्तियों में विघटित करती है और यह केंद्रीय प्रश्न उठाती है कि श्रेणी फलन का पुनर्निर्माण कब करती है।
Definition
एक फूरियर श्रेणी ज्या और कोज्या, या जटिल घातांकों के एक अनंत संयोजन के रूप में एक आवधिक फलन का प्रतिनिधित्व है, जिसके गुणांकों को उन मूल दोलनों के विरुद्ध फलन को एकीकृत करके निर्धारित किया जाता है।
Scope
यह विषय एक आवधिक फलन के फूरियर गुणांक, आंशिक योग और उनके डिरिचलेट कर्नेल, बिंदुवार और एकसमान अभिसरण मानदंड, छलांग पर गिब्स घटना, माध्य में अभिसरण और पारसेवल की पहचान, सेसारो और एबेल माध्य जैसी योग विधियों के साथ फेजर कर्नेल, और वर्ग-अभिन्न फलनों में त्रिकोणमितीय प्रणाली की पूर्णता को शामिल करता है।
Core questions
- एक आवधिक फलन के फूरियर गुणांकों की गणना कैसे की जाती है?
- फूरियर श्रेणी फलन में कब और किस अर्थ में अभिसरित होती है?
- योग विधियाँ अभिसरण को क्यों बहाल करती हैं जहाँ आंशिक योग विफल हो जाते हैं?
- त्रिकोणमितीय प्रणाली वर्ग-अभिन्न फलनों का एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार क्यों बनाती है?
Key theories
- माध्य-वर्ग अभिसरण और पारसेवल की पहचान
- एक वर्ग-अभिन्न आवधिक फलन की फूरियर श्रेणी माध्य-वर्ग अर्थ में इसमें अभिसरित होती है, और वर्ग गुणांकों का योग फलन के वर्ग मानदंड के बराबर होता है, जो त्रिकोणमितीय प्रणाली को एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में व्यक्त करता है।
- फेजर का प्रमेय
- एक सतत आवधिक फलन की फूरियर श्रेणी के आंशिक योगों के सेसारो माध्य फलन में एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं, जो औसत के माध्यम से अभिसरण को पुनर्प्राप्त करते हैं, भले ही आंशिक योग स्वयं अभिसरित न हों।
Clinical relevance
फूरियर श्रेणियाँ आवधिक संकेतों के वर्णक्रमीय विश्लेषण का आधार हैं, जिनका उपयोग ध्वनिकी, कंपन विश्लेषण, विद्युत इंजीनियरिंग और चरों के पृथक्करण द्वारा ऊष्मा और तरंग समीकरणों के समाधान में किया जाता है, जहाँ एक अवस्था को आवृत्ति मोड में विघटित करने से समीकरण हल करने योग्य हो जाते हैं।
History
फूरियर ने 1822 में अपने ऊष्मा के सिद्धांत में त्रिकोणमितीय विस्तारों को प्रस्तुत किया, जिसमें एक सामान्यता का दावा किया गया था जिसने दशकों तक गहन जांच को उकसाया। डिरिचलेट ने 1829 में पहला कठोर अभिसरण प्रमेय दिया, और फेजर के 1900 के योग परिणाम ने सतत फलनों के लिए अभिसरण को स्पष्ट किया।
Key figures
- Joseph Fourier
- Lejeune Dirichlet
- Lipot Fejer
Related topics
Seminal works
- stein2003fourier
- katznelson2004
Frequently asked questions
- क्या एक फूरियर श्रेणी हमेशा अपने फलन में अभिसरित होती है?
- सामान्यतः बिंदुवार नहीं; सतत फलनों में फूरियर श्रेणियाँ हो सकती हैं जो बिंदुओं पर अपसरित होती हैं, लेकिन श्रेणी हमेशा वर्ग-अभिन्न फलनों के लिए माध्य-वर्ग अर्थ में अभिसरित होती है, और योग विधियाँ सतत फलनों के लिए एकसमान अभिसरण को पुनर्प्राप्त करती हैं।
- गिब्स घटना क्या है?
- एक छलांग असंततता के पास फूरियर श्रेणी के आंशिक योग फलन को एक निश्चित अनुपात से अधिक कर देते हैं जो अधिक पद जोड़ने पर भी समाप्त नहीं होता है, जो छलांग पर बिंदुवार अभिसरण की एक कलाकृति है।