स्पेक्ट्रल सिद्धांत
स्पेक्ट्रल सिद्धांत एक मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यूज़ को अनंत-आयामी स्थानों पर ऑपरेटर्स के लिए सामान्यीकृत करता है, जो एक ऑपरेटर को उसके स्पेक्ट्रम के माध्यम से और, स्व-संलग्न ऑपरेटर्स के लिए, एक स्पेक्ट्रल डीकंपोजिशन के माध्यम से वर्णित करता है।
Definition
स्पेक्ट्रल सिद्धांत एक लीनियर ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम का अध्ययन करता है, जो उन स्केलर्स का सेट है जिनके लिए ऑपरेटर माइनस वह स्केलर व्युत्क्रमणीय होने में विफल रहता है, और उपयुक्त ऑपरेटर्स, विशेष रूप से स्व-संलग्न ऑपरेटर्स को, उस स्पेक्ट्रम के संदर्भ में एक स्पेक्ट्रल माप के माध्यम से दर्शाता है।
Scope
यह विषय एक बाउंडेड ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम, रेसोलवेंट सेट और रेसोलवेंट को कवर करता है, स्पेक्ट्रम का बिंदु, सतत और अवशिष्ट भागों में विभाजन, स्पेक्ट्रल रेडियस सूत्र, कॉम्पैक्ट स्व-संलग्न ऑपरेटर्स के लिए आइगेनफंक्शन विस्तार के साथ स्पेक्ट्रल प्रमेय, और प्रोजेक्शन-वैल्यूड मेजर्स और फंक्शनल कैलकुलस के माध्यम से सामान्य बाउंडेड स्व-संलग्न और सामान्य ऑपरेटर्स के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय।
Core questions
- स्पेक्ट्रम को कैसे परिभाषित किया जाता है, और यह आइगेनवैल्यूज़ की धारणा को कैसे विस्तारित करता है?
- एक कॉम्पैक्ट स्व-संलग्न ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम की संरचना क्या है?
- स्पेक्ट्रल प्रमेय एक स्व-संलग्न ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व कैसे करता है?
- फंक्शनल कैलकुलस क्या है, और यह फंक्शन्स को ऑपरेटर्स पर कैसे कार्य करने देता है?
Key theories
- कॉम्पैक्ट स्व-संलग्न ऑपरेटर्स के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय
- एक कॉम्पैक्ट स्व-संलग्न ऑपरेटर में वास्तविक आइगेनवैल्यूज़ के साथ आइगेनवेक्टर्स का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है जो केवल शून्य पर जमा होता है, जिससे एक विकर्णीकरण (diagonalization) मिलता है जो सीधे परिमित-आयामी मामले को सामान्यीकृत करता है।
- स्पेक्ट्रल प्रमेय और फंक्शनल कैलकुलस
- प्रत्येक बाउंडेड स्व-संलग्न, और अधिक सामान्यतः सामान्य, ऑपरेटर को एक प्रोजेक्शन-वैल्यूड स्पेक्ट्रल माप के विरुद्ध एक इंटीग्रल के रूप में दर्शाया जाता है, जिससे ऑपरेटर के बाउंडेड फंक्शन्स को परिभाषित और हेरफेर किया जा सकता है।
Clinical relevance
स्पेक्ट्रल सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय मूल है, जहाँ एक स्व-संलग्न ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम एक अवलोकन योग्य के संभावित मापे गए मानों को देता है; यह कंपन और स्थिरता विश्लेषण, आंशिक अंतर समीकरणों के लिए आइगेनफंक्शन विधियों, और डेटा विश्लेषण और ग्राफ सिद्धांत में स्पेक्ट्रल तकनीकों का भी आधार है।
History
हिल्बर्ट ने अपने इंटीग्रल समीकरणों के अध्ययन में स्पेक्ट्रम शब्द का प्रयोग किया, और स्व-संलग्न ऑपरेटर्स का सिद्धांत 1920 के दशक के अंत में वॉन न्यूमैन द्वारा पूरा किया गया, जिन्होंने क्वांटम यांत्रिकी के लिए कठोर नींव प्रदान करने हेतु अनबाउंडेड ऑपरेटर्स के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय स्थापित किया।
Key figures
- David Hilbert
- John von Neumann
- Frigyes Riesz
Related topics
Seminal works
- conway1985
- reedsimon1980
Frequently asked questions
- एक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम क्या है?
- यह उन स्केलर्स का सेट है जिनके लिए ऑपरेटर माइनस आइडेंटिटी का वह स्केलर मल्टीपल व्युत्क्रमणीय नहीं होता है; मैट्रिक्स के लिए यह ठीक आइगेनवैल्यूज़ का सेट होता है, लेकिन अनंत आयामों में इसमें गैर-आइगेनवैल्यू बिंदु भी शामिल हो सकते हैं।
- स्पेक्ट्रल प्रमेय इतना महत्वपूर्ण क्यों है?
- यह स्व-संलग्न ऑपरेटर्स को विकर्णित करता है, ठीक वैसे ही जैसे सममित मैट्रिक्स को विकर्णित किया जाता है, जो स्व-संलग्न ऑपरेटर्स को भौतिक अवलोकन योग्य के लिए प्राकृतिक मॉडल बनाता है और ऑपरेटर्स के फंक्शन्स को परिभाषित करने में सक्षम बनाता है।