रैखिक अवकल प्रणालियाँ

रैखिक अवकल प्रणालियाँ अज्ञात राशियों में रैखिक प्रथम-कोटि साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय होते हैं, जिनकी हल संरचना रैखिक बीजगणित और मैट्रिक्स घातांक द्वारा नियंत्रित होती है।

Definition

एक रैखिक अवकल प्रणाली का रूप dx/dt बराबर A(t)x प्लस g(t) होता है, जहाँ x एक सदिश अज्ञात है और A गुणांकों का एक आव्यूह है; जब A स्थिर होता है तो सामान्य सजातीय हल प्रारंभिक सदिश पर लागू A गुना t का मैट्रिक्स घातांक होता है।

Scope

यह विषय सजातीय और असजातीय रैखिक प्रणालियों, अध्यारोपण सिद्धांत और मौलिक आव्यूहों, मैट्रिक्स घातांक और आइगेनमानों तथा आइगेनसदिशों द्वारा हल, प्राचलों के विचरण, व्रोंस्कियन, और दोहराए गए आइगेनमानों को हल करने में जॉर्डन कैनोनिकल रूप की भूमिका को शामिल करता है। आवधिक गुणांकों वाली प्रणालियों का फ्लोक्वेट सिद्धांत द्वारा उपचार किया जाता है।

Core questions

• एक स्थिर-गुणांक रैखिक प्रणाली का सामान्य हल कैसे निर्मित किया जाता है?
• हल का वर्णन करने में आइगेनमान और आइगेनसदिश क्या भूमिका निभाते हैं?
• प्राचलों का विचरण बल लगाने वाले पदों को कैसे संभालता है?
• समय-भिन्न या आवधिक गुणांकों वाली प्रणालियों का विश्लेषण कैसे किया जाता है?

Key theories

मैट्रिक्स घातांक हल

एक स्थिर-गुणांक सजातीय प्रणाली के लिए अद्वितीय हल प्रारंभिक स्थिति पर लागू A गुना t का मैट्रिक्स घातांक है; इसकी गणना A के आइगेनसंरचना या जॉर्डन रूप तक कम हो जाती है।

मौलिक आव्यूह और प्राचलों का विचरण

हल का कोई भी आधार एक मौलिक आव्यूह में एकत्रित होता है जिसकी व्युत्क्रमणीयता एक गैर-शून्य व्रोंस्कियन द्वारा पता लगाई जाती है; प्राचलों का विचरण तब एक असजातीय बल लगाने वाले पद के प्रति प्रतिक्रिया व्यक्त करता है।

फ्लोक्वेट सिद्धांत

आवधिक गुणांकों वाली प्रणालियों के लिए, हल एक घातीय कारक के गुणा आवधिक भाग में विघटित होते हैं, और फ्लोक्वेट गुणक आवधिक संरचना की स्थिरता निर्धारित करते हैं।

Clinical relevance

रैखिक प्रणालियाँ विज्ञान और इंजीनियरिंग में कार्यसाधक स्थानीय मॉडल हैं और अरैखिक प्रणालियों का विश्लेषण करने में रैखिकीकरण चरण हैं; वे युग्मित दोलक, विद्युत नेटवर्क, डिब्बे मॉडल और साम्यावस्था के पास छोटे-विक्षोभ व्यवहार का वर्णन करते हैं।

History

रैखिक सिद्धांत उन्नीसवीं शताब्दी में रैखिक बीजगणित के साथ परिपक्व हुआ। लैग्रेंज ने प्राचलों का विचरण विकसित किया, जॉर्डन के कैनोनिकल रूप ने दोहराए गए आइगेनमानों के मामले को स्पष्ट किया, और फ्लोक्वेट के 1883 के आवधिक गुणांकों के अध्ययन ने आवधिक रूप से संचालित प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए मानक उपकरण प्रदान किया।

Key figures

• Joseph-Louis Lagrange
• Camille Jordan
• Gaston Floquet
• Aleksandr Lyapunov

Seminal works

• coddington1955
• perko2001

Frequently asked questions

मैट्रिक्स घातांक एक रैखिक प्रणाली को क्यों हल करता है?

A गुना t के मैट्रिक्स घातांक का अवकलन करने पर A गुना वही घातांक प्राप्त होता है, जो प्रणाली dx/dt बराबर Ax को बिल्कुल प्रतिबिंबित करता है। इसलिए मैट्रिक्स घातांक प्रणालियों के लिए वही भूमिका निभाता है जो साधारण घातांक एक एकल अदिश समीकरण के लिए निभाता है।

दोहराए गए आइगेनमानों के साथ क्या गलत होता है?

जब एक आइगेनमान में पर्याप्त स्वतंत्र आइगेनसदिशों की कमी होती है, तो सादे घातीय मोड सभी हलों को नहीं फैलाते हैं। जॉर्डन कैनोनिकल रूप सामान्यीकृत आइगेनसदिश प्रदान करता है, जिससे ऐसे हल उत्पन्न होते हैं जो समय में बहुपद कारकों के साथ घातांकों को जोड़ते हैं।