सन्निकटन सिद्धांत

सन्निकटन सिद्धांत इस बात का अध्ययन करता है कि फलनों को सरल फलनों — बहुपद, स्प्लाइन, त्रिकोणमितीय श्रेणी, या परिमेय फलनों — द्वारा कितनी अच्छी तरह दर्शाया जा सकता है, और उन सन्निकटों का निर्माण करता है जो सर्वोत्तम या लगभग सर्वोत्तम सटीकता प्राप्त करते हैं।

Definition

सन्निकटन सिद्धांत संख्यात्मक विश्लेषण की वह शाखा है जो फलनों को सरल फलनों के वर्गों द्वारा दर्शाने और सर्वोत्तम फिट के विभिन्न मापों के तहत ऐसे निरूपणों की त्रुटि को निर्धारित करने से संबंधित है।

Scope

यह क्षेत्र अंतर्वेशन और सर्वोत्तम सन्निकटन, बहुपद और स्प्लाइन सन्निकटों के अभिसरण और त्रुटि, न्यूनतम-वर्ग और मिनिमाक्स (चेबीशेव) मानदंड, और सैद्धांतिक परिणामों — अस्तित्व, अद्वितीयता और अभिसरण की दरें — को शामिल करता है जो यह निर्धारित करते हैं कि जैसे-जैसे स्वतंत्रता की अधिक डिग्री जोड़ी जाती है, सन्निकटन त्रुटि कैसे कम होती है।

Sub-topics

• chebyshev and minimax approximation
• least squares approximation
• polynomial interpolation
• spline approximation

Core questions

• किसी दिए गए फलन को किसी दिए गए आकार के बहुपदों, स्प्लाइन या परिमेय फलनों द्वारा कितनी सटीकता से सन्निकटित किया जा सकता है?
• न्यूनतम-वर्ग या अधिकतम (मिनिमाक्स) त्रुटि जैसे चुने हुए त्रुटि माप के तहत कौन सा सन्निकट इष्टतम है?
• किसी फलन की चिकनाई किस दर पर सन्निकटन त्रुटि को कम करती है?
• अंतर्वेशन अंतर्निहित फलन में कब अभिसरित होता है, और कब विफल होता है?

Key theories

वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय

एक बंद परिबद्ध अंतराल पर प्रत्येक सतत फलन को बहुपदों द्वारा इच्छानुसार निकटता से एकसमान रूप से सन्निकटित किया जा सकता है, यह स्थापित करते हुए कि बहुपद सतत फलनों के स्थान में सघन होते हैं और रचनात्मक सन्निकटन विधियों को प्रेरित करते हैं।

सर्वोत्तम सन्निकटन और समदोलन

एक सतत फलन का सर्वोत्तम मिनिमाक्स बहुपद सन्निकटन मौजूद है, अद्वितीय है, और चेबीशेव समदोलन प्रमेय द्वारा विशेषता है, जो बताता है कि त्रुटि पर्याप्त बिंदुओं पर वैकल्पिक चिह्न के साथ अपनी अधिकतम परिमाण प्राप्त करती है।

चिकनाई और अभिसरण दरें

सन्निकटन त्रुटि की क्षय दर लक्ष्य फलन की चिकनाई द्वारा नियंत्रित होती है: विश्लेषणात्मक फलन बहुपद सन्निकटों के ज्यामितीय अभिसरण को स्वीकार करते हैं, जबकि सीमित व्युत्पन्न वाले फलन केवल बीजगणितीय रूप से अभिसरित होते हैं।

Clinical relevance

सन्निकटन सिद्धांत वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में सटीक संख्यात्मक विधियों के निर्माण का आधार है: चतुर्भुज नियम, स्पेक्ट्रल और परिमित-तत्व आधार, डेटा फिटिंग और स्मूथिंग, कंप्यूटर-एडेड ज्यामितीय डिजाइन, और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर में निर्मित विशेष-फलन और प्राथमिक-फलन रूटीन सभी इस बात के परिणामों पर आधारित हैं कि फलनों को कितनी अच्छी तरह और कितनी कम लागत पर सन्निकटित किया जा सकता है।

History

यह विषय चेबीशेव के उन्नीसवीं सदी के सर्वोत्तम एकसमान सन्निकटन और वीयरस्ट्रास के घनत्व प्रमेय पर किए गए कार्य से विकसित हुआ, ऑर्थोगोनल बहुपदों और फूरियर श्रेणी के अध्ययन से आगे बढ़ा, और कंप्यूटर युग में स्प्लाइन सिद्धांत और आधुनिक संख्यात्मक कंप्यूटिंग में लोकप्रिय चेबीशेव-आधारित व्यावहारिक विधियों द्वारा इसे नया रूप दिया गया।

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Karl Weierstrass
• Carl Runge
• Lloyd N. Trefethen

Seminal works

• trefethen2013
• powell1981
• cheney1966

Frequently asked questions

अंतर्वेशन और सर्वोत्तम सन्निकटन में क्या अंतर है?

अंतर्वेशन सन्निकट को चुने हुए बिंदुओं पर फलन से ठीक-ठीक मेल खाने के लिए बाध्य करता है, जबकि सर्वोत्तम सन्निकटन किसी भी बिंदु पर आवश्यक रूप से मेल खाए बिना एक समग्र त्रुटि माप (जैसे अधिकतम या न्यूनतम-वर्ग त्रुटि) को कम करता है। एक सर्वोत्तम सन्निकट आमतौर पर समग्र रूप से अधिक सटीक होता है लेकिन इसका निर्माण करना अधिक कठिन होता है।

अधिक अंतर्वेशन बिंदुओं का उपयोग करने से कभी-कभी चीजें क्यों खराब हो जाती हैं?

समान दूरी वाले बिंदुओं पर उच्च-डिग्री बहुपद अंतर्वेशन अंतराल के सिरों के पास अत्यधिक दोलन कर सकता है — रूंज घटना — इसलिए त्रुटि कम होने के बजाय बढ़ सकती है। चेबीशेव-वितरित बिंदुओं का चयन करना या स्प्लाइन का उपयोग करना इससे बचाता है।