पिवोटल राशियाँ और विश्वास अंतराल

एक पिवोटल राशि का वितरण अज्ञात पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है, जिससे कोई व्यक्ति संभाव्यता कथन को विश्वास अंतराल में बदल सकता है।

Definition

एक पिवोटल राशि डेटा और पैरामीटर का एक फलन है जिसका संभाव्यता वितरण प्रत्येक पैरामीटर मान के लिए समान होता है; पिवोट के बारे में एक संभाव्यता कथन को उलटने से पैरामीटर के लिए एक विश्वास अंतराल प्राप्त होता है।

Scope

यह विषय पिवोटल राशि की परिभाषा, सटीक विश्वास अंतराल बनाने के लिए पिवोटल विधि, स्थान-पैमाना और सामान्य मॉडल में प्रामाणिक पिवोट्स जैसे t और ची-स्क्वायर पिवोट्स, लंबाई और समरूपता को नियंत्रित करने के लिए अंतराल समापन बिंदुओं का चुनाव, और बड़े-नमूने के अनुमानित पिवोट्स जो एसिम्प्टोटिक सामान्यता से वाल्ड-प्रकार के अंतराल देते हैं, को शामिल करता है।

Core questions

• एक पिवोट को एक सामान्य सांख्यिकी से क्या अलग करता है, और पैरामीटर-मुक्त वितरण क्यों आवश्यक है?
• पिवोटल विधि एक संभाव्यता कथन को अंतराल में कैसे परिवर्तित करती है?
• एक सामान्य नमूने के माध्य और विचरण के लिए मानक पिवोट्स क्या हैं?
• सामान्यतः पर आधारित एसिम्प्टोटिक पिवोट्स अनुमानित अंतराल कैसे देते हैं जब सटीक पिवोट्स अनुपलब्ध होते हैं?

Key theories

पिवोटल विधि

यदि एक पिवोट का ज्ञात वितरण है, तो एक दी गई संभाव्यता को कैप्चर करने वाले क्वांटाइल्स का चयन करना और पैरामीटर के लिए परिणामी असमानताओं को हल करना ठीक उसी कवरेज के साथ एक विश्वास अंतराल उत्पन्न करता है।

एसिम्प्टोटिक पिवोट्स और वाल्ड अंतराल

जब कोई सटीक पिवोट मौजूद नहीं होता है, तो एक अनुमानक माइनस पैरामीटर को उसके मानक त्रुटि से विभाजित करने पर बड़े नमूनों में लगभग मानक सामान्य होता है, जिससे परिचित अनुमान-प्लस-या-माइनस-मार्जिन विश्वास अंतराल प्राप्त होता है।

Clinical relevance

पिवोटल विधि माध्य के लिए t-अंतराल और विचरण के लिए ची-स्क्वायर अंतराल उत्पन्न करती है जो अनुप्रयुक्त अनुसंधान में व्यापक रूप से रिपोर्ट किए जाते हैं, जबकि एसिम्प्टोटिक पिवोट्स अनुपात, प्रतिगमन गुणांक और सर्वेक्षण अनुमानों के लिए उपयोग किए जाने वाले अनुमान-प्लस-या-माइनस-मार्जिन अंतराल देते हैं।

History

स्टूडेंट के छद्म नाम से गोसेट द्वारा 1908 में t वितरण की व्युत्पत्ति ने सामान्य माध्य के लिए पहला सटीक पिवोट प्रदान किया, और नेमैन के 1937 के विश्वास सिद्धांत ने पिवोटल निर्माण को एक सामान्य फ्रीक्वेंटिस्ट ढांचे के भीतर रखा।

Key figures

• Jerzy Neyman
• William Sealy Gosset
• Ronald A. Fisher
• George Casella

Seminal works

• casella2002

Frequently asked questions

एक राशि को पिवोटल क्या बनाता है?

इसका वितरण अज्ञात पैरामीटर के प्रत्येक मान के लिए बिल्कुल समान होना चाहिए; तभी पैरामीटर को जाने बिना क्वांटाइल्स का चयन किया जा सकता है, जिससे गारंटीकृत कवरेज वाला एक अंतराल संभव होता है।

क्या वाल्ड अंतराल सटीक होते हैं?

नहीं। वे अनुमानक की एसिम्प्टोटिक सामान्यता पर निर्भर करते हैं और इसलिए सीमित नमूनों में केवल अनुमानित कवरेज होता है, जो छोटे नमूनों या शून्य या एक के करीब के अनुपात जैसे सीमा के पास के पैरामीटर के लिए खराब हो सकता है।