सांख्यिकी में संख्यात्मक समाकलन
सांख्यिकी में संख्यात्मक समाकलन उन समाकलनों का मूल्यांकन करता है जो सीमांत संभाव्यता, पश्च प्रत्याशा और सामान्यीकरण स्थिरांक को परिभाषित करते हैं, जब उन समाकलनों का कोई बंद रूप नहीं होता है।
Definition
सांख्यिकी में संख्यात्मक समाकलन, संभाव्यता-आधारित और बायेसियन अनुमान में उत्पन्न होने वाले समाकलनों, विशेष रूप से सीमांत संभाव्यता और पश्च क्षणों का मूल्यांकन करने के लिए नियतात्मक चतुर्भुज नियमों और विश्लेषणात्मक सन्निकटन का उपयोग है।
Scope
यह विषय सांख्यिकीय समाकलनों के अनुकूल नियतात्मक चतुर्भुज (deterministic quadrature) को शामिल करता है, जिसमें सामान्य यादृच्छिक प्रभावों को एकीकृत करने के लिए गॉस-हर्माइट नियम, अनुकूली चतुर्भुज (adaptive quadrature), और एक तीव्र शिखर द्वारा हावी समाकलनों के लिए लाप्लास सन्निकटन शामिल हैं। यह मोंटे कार्लो एकीकरण का पूरक है, जिसे मोंटे कार्लो विधियों के तहत माना जाता है, जो निम्न-आयामी नियतात्मक योजनाओं पर ध्यान केंद्रित करता है।
Core questions
- गाऊसी चतुर्भुज का उपयोग करके संभाव्यता से यादृच्छिक प्रभावों को कैसे एकीकृत किया जाता है?
- सांख्यिकीय समाकलनों के लिए अनुकूली चतुर्भुज निश्चित नियमों से बेहतर प्रदर्शन कब करता है?
- लाप्लास सन्निकटन एक तीव्र शिखर वाले समाकलन का लाभ कैसे उठाता है?
- मोंटे कार्लो एकीकरण की तुलना में नियतात्मक चतुर्भुज विधियाँ कब बेहतर होती हैं?
Key concepts
- गॉस-हर्माइट चतुर्भुज
- अनुकूली चतुर्भुज
- लाप्लास सन्निकटन
- सीमांत संभाव्यता
- सामान्यीकृत स्थिरांक
Key theories
- यादृच्छिक प्रभावों के लिए गॉस-हर्माइट चतुर्भुज
- एक सामान्य घनत्व के विरुद्ध समाकलन, जैसे कि मिश्रित मॉडल में यादृच्छिक प्रभावों को सीमांत करना, गॉस-हर्माइट नियमों द्वारा कुशलता से मूल्यांकन किया जाता है, जिसमें अनुकूली संस्करण समाकलन के मोड के पास नोड्स को केंद्रित करते हैं।
- लाप्लास सन्निकटन
- एक तीव्र शिखर वाले समाकलन को उसके मोड के चारों ओर एक गाऊसी द्वारा अनुमानित करने से समाकलन का एक बंद-रूप अनुमान प्राप्त होता है, जो तब सटीक होता है जब शिखर हावी होता है, और कई पदानुक्रमित मॉडल के लिए तेज़ अनुमानित अनुमान का आधार बनता है।
Clinical relevance
सामान्यीकृत रैखिक मिश्रित मॉडल को फिट करना, बेयस कारकों की गणना करना, और पश्च सारांश प्राप्त करना सभी अट्रैक्टेबल समाकलनों के मूल्यांकन की मांग करते हैं; नियतात्मक चतुर्भुज और लाप्लास सन्निकटन निम्न-आयामी समाकलनों के लिए सिमुलेशन के तेज़, सटीक विकल्प प्रदान करते हैं।
History
शास्त्रीय चतुर्भुज और समाकलनों के सन्निकटन की लाप्लास विधि को सांख्यिकीविदों द्वारा संभाव्यता और बायेसियन संगणना के लिए अनुकूलित किया गया था, जिसमें अनुकूली गॉस-हर्माइट चतुर्भुज और लाप्लास सन्निकटन मिश्रित और पदानुक्रमित मॉडल के लिए मानक उपकरण बन गए।
Key figures
- John Monahan
- Kenneth Lange
- Pierre-Simon Laplace
Related topics
Seminal works
- monahan2011
- lange2010
Frequently asked questions
- सांख्यिकीय समाकलन के लिए मुझे मोंटे कार्लो के बजाय चतुर्भुज का उपयोग कब करना चाहिए?
- निम्न-आयामी समाकलनों के लिए चिकने समाकलनों के साथ, नियतात्मक चतुर्भुज बहुत तेज़ी से अभिसरण करता है और एक नियतात्मक उत्तर देता है। जैसे-जैसे आयाम बढ़ता है, मोंटे कार्लो बेहतर हो जाता है, जहाँ चतुर्भुज ग्रिड अव्यावहारिक हो जाते हैं।
- लाप्लास सन्निकटन किस लिए अच्छा है?
- यह एक एकल तीव्र शिखर द्वारा हावी समाकलनों के लिए एक तेज़ बंद-रूप सन्निकटन देता है, जैसे कि अच्छी तरह से पहचाने गए मॉडल में सीमांत संभाव्यता। यह तब सटीक होता है जब समाकलन अपने मोड के पास लगभग गाऊसी होता है।