बहुभिन्नरूपी बहु प्रतिगमन (Multivariate Multiple Regression)

बहुभिन्नरूपी बहु प्रतिगमन सामान्य प्रेडिक्टर्स के एक सेट से एक साथ कई सतत प्रतिक्रियाओं की भविष्यवाणी करता है, जो प्रतिक्रियाओं के बीच के सहसंबंधों को मॉडल करता है।

Definition

बहुभिन्नरूपी बहु प्रतिगमन एक रैखिक मॉडल है जिसमें प्रतिक्रियाओं के एक वेक्टर को सहसंबद्ध त्रुटियों के साथ साझा प्रेडिक्टर्स पर प्रतिगमन किया जाता है, जिसका अनुमान और परीक्षण प्रतिक्रिया सहप्रसरण संरचना को ध्यान में रखते हुए किया जाता है।

Scope

यह विषय प्रतिक्रियाओं के मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी रैखिक मॉडल, बिंदु अनुमानों के लिए समीकरण-दर-समीकरण प्रतिगमन के साथ मेल खाने वाले न्यूनतम-वर्ग अनुमान, अनुमान में त्रुटि सहप्रसरण की भूमिका, प्रतिगमन परिकल्पनाओं के बहुभिन्नरूपी परीक्षण, और प्रतिक्रियाओं के वेक्टर के लिए भविष्यवाणी क्षेत्रों को शामिल करता है।

Core questions

• सामान्य प्रेडिक्टर्स से कई सतत प्रतिक्रियाओं की संयुक्त रूप से भविष्यवाणी कैसे की जाती है?
• संयुक्त अनुमान अलग-अलग एकतरफा प्रतिगमन से कब भिन्न होता है?
• गुणांक मैट्रिक्स के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण कैसे किया जाता है?
• प्रतिक्रियाओं के लिए संयुक्त भविष्यवाणी क्षेत्र कैसे निर्मित किए जाते हैं?

Key theories

मैट्रिक्स न्यूनतम वर्ग (Matrix least squares)

गुणांक मैट्रिक्स का न्यूनतम-वर्ग अनुमान कॉलम दर कॉलम प्राप्त किया जाता है, इसलिए बिंदु अनुमान अलग-अलग एकतरफा प्रतिगमन के बराबर होते हैं, जबकि अनुमानित त्रुटि सहप्रसरण अनुमान के लिए प्रतिक्रियाओं को एक साथ जोड़ता है।

गुणांकों पर बहुभिन्नरूपी अनुमान (Multivariate inference on coefficients)

गुणांक मैट्रिक्स के बारे में परिकल्पनाओं के परीक्षण त्रुटि और परिकल्पना योग-वर्ग-और-क्रॉस-उत्पाद मैट्रिक्स से प्राप्त बहुभिन्नरूपी आँकड़ों का उपयोग करते हैं, जो प्रतिक्रियाओं के पार साक्ष्य को जोड़ते हैं।

Clinical relevance

बहुभिन्नरूपी बहु प्रतिगमन का उपयोग तब किया जाता है जब कई परिणामों को एक साथ मापा जाता है और वे प्रेडिक्टर्स साझा करते हैं, जिससे संयुक्त परिकल्पना परीक्षण और भविष्यवाणी क्षेत्र सक्षम होते हैं जो परिणामों के बीच के सहसंबंधों का सम्मान करते हैं।

History

बहुभिन्नरूपी रैखिक मॉडल और इसका अनुमानित सिद्धांत बीसवीं सदी के शुरुआती से मध्य तक के शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के भीतर विकसित किया गया था, जिसमें एकतरफा प्रतिगमन को वेक्टर प्रतिक्रियाओं के लिए सामान्यीकृत किया गया था और अभी भी उपयोग में आने वाले बहुभिन्नरूपी परीक्षण आँकड़े प्रदान किए गए थे।

Key figures

• T. W. Anderson
• Samuel Wilks

Seminal works

• anderson2003
• johnson2007
• mardia1979

Frequently asked questions

यदि बिंदु अनुमान अलग-अलग प्रतिगमन के बराबर हैं, तो बहुभिन्नरूपी मॉडल का उपयोग क्यों करें?

क्योंकि संयुक्त अनुमान, प्रतिक्रियाओं के पार परिकल्पना परीक्षण, और भविष्यवाणी क्षेत्र प्रतिक्रिया सहप्रसरण पर निर्भर करते हैं, जिसे बहुभिन्नरूपी मॉडल कैप्चर करता है लेकिन अलग-अलग एकतरफा प्रतिगमन अनदेखा करते हैं।

त्रुटि सहप्रसरण मैट्रिक्स की क्या भूमिका है?

यह मात्रा निर्धारित करता है कि प्रतिक्रिया त्रुटियां कैसे सहसंबंधित होती हैं और बहुभिन्नरूपी परीक्षण आँकड़ों और भविष्यवाणी क्षेत्रों में प्रवेश करती हैं, जो प्रतिक्रियाओं के बीच निर्भरता को ध्यान में रखती हैं।