बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण
बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण घंटी वक्र को यादृच्छिक सदिशों तक सामान्यीकृत करता है, जिसे एक माध्य सदिश और एक सहप्रसरण आव्यूह द्वारा पूरी तरह से चित्रित किया जाता है।
Definition
बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण एक यादृच्छिक सदिश का संयुक्त वितरण है जिसके घटकों का प्रत्येक रैखिक संयोजन एक एकभिन्नरूपी सामान्य है, जो इसके माध्य सदिश और सहप्रसरण आव्यूह द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है।
Scope
यह विषय बहुभिन्नरूपी सामान्य के घनत्व और अभिलाक्षणिक फलन, रैखिक परिवर्तन, सीमांतीकरण (marginalization) और कंडीशनिंग के तहत इसका संवरण (closure), सामान्य चरों के लिए शून्य सहप्रसरण और स्वतंत्रता के बीच संबंध, इसके दीर्घवृत्तीय समोच्चों की ज्यामिति और महालनोबिस दूरी, और शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी अनुमान में एक अनुमानित मॉडल के रूप में इसकी भूमिका को शामिल करता है।
Core questions
- बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण की क्या विशेषताएँ हैं?
- एक सामान्य सदिश के सीमांत और सशर्त वितरण कैसे व्यवहार करते हैं?
- यह एक मॉडलिंग धारणा के रूप में इतनी बार क्यों दिखाई देता है?
- इसकी दीर्घवृत्तीय ज्यामिति महालनोबिस दूरी से कैसे संबंधित है?
Key theories
- संवरण गुणधर्म (Closure properties)
- एक बहुभिन्नरूपी सामान्य सदिश के रैखिक परिवर्तन, सीमांत और सशर्त स्वयं सामान्य होते हैं, और सशर्त माध्य स्थिर सशर्त सहप्रसरण के साथ रैखिक होते हैं, ये गुणधर्म वितरण को असाधारण रूप से सुगम बनाते हैं।
- दीर्घवृत्तीय ज्यामिति और महालनोबिस दूरी
- स्थिर घनत्व के समोच्च दीर्घवृत्त होते हैं जिनकी वर्ग त्रिज्या माध्य से महालनोबिस दूरी होती है, जो एक काई-वर्ग वितरण का अनुसरण करती है और कई बहुभिन्नरूपी परीक्षण आँकड़ों का आधार बनती है।
Clinical relevance
बहुभिन्नरूपी सामान्य मॉडल बहुभिन्नरूपी परीक्षण और अनुमान में उपयोग किए जाने वाले प्रतिचयन वितरणों को उचित ठहराता है, और गाऊसी विभेदक विश्लेषण और गाऊसी मिश्रण क्लस्टरिंग में घटक वितरण के रूप में कार्य करता है।
History
बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण बीसवीं सदी की शुरुआत में सहसंबंध और प्रतिगमन सिद्धांत के साथ विकसित हुआ और मध्य-सदी के ग्रंथों में औपचारिक रूप दिए गए बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के शास्त्रीय सिद्धांत की नींव बन गया।
Debates
- सामान्यतः धारणा की वैधता
- कई शास्त्रीय प्रक्रियाएँ बहुभिन्नरूपी सामान्यतः मानती हैं, लेकिन वास्तविक बहुभिन्नरूपी डेटा अक्सर भारी पूंछ या विषमता दिखाते हैं, जिससे मजबूत और दीर्घवृत्तीय-वितरण विकल्प और बहुभिन्नरूपी सामान्यतः के परीक्षणों को बढ़ावा मिलता है।
Key figures
- T. W. Anderson
- Robb Muirhead
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- mardia1979
- muirhead1982
Frequently asked questions
- क्या शून्य सहसंबंध सामान्य चरों के लिए स्वतंत्रता का अर्थ है?
- एकल बहुभिन्नरूपी सामान्य सदिश के घटकों के लिए, असंबद्ध घटक वास्तव में स्वतंत्र होते हैं; यह तुल्यता सामान्य के लिए विशेष है और सामान्य रूप से वितरणों के लिए मान्य नहीं है।
- महालनोबिस दूरी क्या है?
- यह एक बिंदु से माध्य तक की पैमाने- और सहसंबंध-समायोजित दूरी है; बहुभिन्नरूपी सामान्य डेटा के लिए इसका वर्ग एक काई-वर्ग वितरण का अनुसरण करता है और इसका उपयोग आउटलायर्स का पता लगाने और वर्गीकरण में किया जाता है।