बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन

बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन कई प्रतिक्रिया चरों की भविष्यवक्ताओं के एक समूह पर संयुक्त निर्भरता का प्रतिरूपण करता है, जिसमें प्रतिक्रियाओं के बीच के सहसंबंधों को ध्यान में रखा जाता है।

Definition

बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन दो या दो से अधिक प्रतिक्रिया चरों का एक साथ सामान्य भविष्यवक्ताओं के कार्यों के रूप में प्रतिरूपण है, जिसमें प्रतिक्रियाओं के बीच सहप्रसरण संरचना को ध्यान में रखते हुए अनुमान लगाया जाता है।

Scope

यह क्षेत्र बहुभिन्नरूपी सामान्य रैखिक मॉडल और उसके विशेषीकरणों को शामिल करता है: कई सतत प्रतिक्रियाओं के साथ बहुभिन्नरूपी बहु प्रतिगमन, समूह माध्य सदिशों की तुलना के लिए बहुभिन्नरूपी विचरण विश्लेषण, और आयाम-घटाने वाली पूर्वानुमानित विधियाँ जैसे कि कई सहसंबंधित भविष्यवक्ताओं के लिए आंशिक न्यूनतम वर्ग। यह अनुमान, बहुभिन्नरूपी परीक्षण आँकड़ों के माध्यम से परिकल्पना परीक्षण, और प्रतिक्रिया सहप्रसरण के प्रतिरूपण को संबोधित करता है।

Sub-topics

• बहुभिन्नरूपी प्रसरण विश्लेषण
• बहुभिन्नरूपी बहु प्रतिगमन (Multivariate Multiple Regression)
• आंशिक न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन

Core questions

• कई सहसंबंधित प्रतिक्रियाओं को सामान्य भविष्यवक्ताओं पर संयुक्त रूप से कैसे प्रतिरूपित किया जाता है?
• प्रतिगमन और समूह माध्यों के बारे में बहुभिन्नरूपी परिकल्पनाओं का परीक्षण कैसे किया जाता है?
• प्रतिक्रियाओं को संयुक्त रूप से प्रतिरूपित करना अलग-अलग एकभिन्नरूपी प्रतिगमन से कैसे भिन्न है?
• कई सहसंबंधित भविष्यवक्ताओं को पूर्वानुमानित रूप से कैसे संभाला जाता है?

Key theories

बहुभिन्नरूपी सामान्य रैखिक मॉडल

बहुभिन्नरूपी रैखिक मॉडल प्रतिक्रियाओं के एक मैट्रिक्स को एक सामान्य डिज़ाइन मैट्रिक्स गुणा एक गुणांक मैट्रिक्स प्लस सहसंबंधित त्रुटियों के रूप में व्यक्त करता है, जो बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन और बहुभिन्नरूपी विचरण विश्लेषण को एक ही ढांचे के तहत एकीकृत करता है।

बहुभिन्नरूपी परीक्षण आँकड़े

गुणांक या माध्य-सदिश मैट्रिक्स के बारे में परिकल्पनाओं का परीक्षण विल्क्स के लैम्डा और पिल्लई, हॉटेलिंग-लॉली, और रॉय मानदंडों जैसे आँकड़ों के साथ किया जाता है, जो प्रतिक्रियाओं में जानकारी को जोड़ते हैं।

Clinical relevance

बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन का उपयोग तब किया जाता है जब परिणाम स्वाभाविक रूप से बहुआयामी होते हैं, जैसे प्रति विषय कई सहसंबंधित माप, और कई परिणामों में समूहों की एक साथ तुलना करने के लिए जबकि समग्र त्रुटि दरों को नियंत्रित किया जाता है।

History

बहुभिन्नरूपी रैखिक मॉडल और इसके संबंधित परीक्षण आँकड़े बीसवीं शताब्दी के पहले भाग में बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के शास्त्रीय सिद्धांत में विकसित किए गए थे। बाद में, आंशिक न्यूनतम वर्ग जैसी विधियों ने कई प्रतिक्रियाओं या भविष्यवक्ताओं के साथ प्रतिगमन को उच्च-आयामी और सहरेखीय सेटिंग्स तक विस्तारित किया जो रसायनमिति में आम हैं।

Debates

बहुभिन्नरूपी परीक्षण आँकड़ों का चुनाव

विल्क्स का लैम्डा, पिल्लई का ट्रेस, हॉटेलिंग-लॉली ट्रेस, और रॉय की सबसे बड़ी जड़ अलग-अलग निष्कर्ष दे सकते हैं और शक्ति और मजबूती में भिन्न हो सकते हैं, इसलिए उनके बीच का चुनाव हमेशा स्पष्ट नहीं होता है।

Key figures

• T. W. Anderson
• Harold Hotelling
• Samuel Wilks

Seminal works

• anderson2003
• johnson2007
• mardia1979

Frequently asked questions

एक समय में एक के बजाय कई प्रतिक्रियाओं को संयुक्त रूप से प्रतिरूपित क्यों करें?

संयुक्त प्रतिरूपण प्रतिक्रियाओं के बीच सहसंबंधों को ध्यान में रखता है, सभी प्रतिक्रियाओं में एक साथ परिकल्पनाओं के परीक्षण की अनुमति देता है, और समग्र त्रुटि दर को नियंत्रित करता है जिसे अलग-अलग एकभिन्नरूपी विश्लेषण बढ़ा देंगे।

बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन MANOVA से कैसे संबंधित है?

दोनों बहुभिन्नरूपी सामान्य रैखिक मॉडल के विशेष मामले हैं; MANOVA वह संस्करण है जिसमें भविष्यवक्ता समूह सदस्यता को एन्कोड करते हैं और ध्यान समूहों में माध्य सदिशों की तुलना पर होता है।