हैमिल्टन के समीकरण और प्रावस्था समष्टि
हैमिल्टन के समीकरण प्रथम-कोटि के समीकरणों का एक युग्म है जो हैमिल्टोनियन के व्युत्पन्न के रूप में निर्देशांकों और संयुग्मी संवेगों के समय विकास को दर्शाता है, जो प्रावस्था समष्टि में एक प्रवाह के रूप में गति का वर्णन करता है।
Definition
हैमिल्टन के समीकरण दो प्रथम-कोटि के अवकल समीकरण हैं, एक प्रत्येक निर्देशांक के परिवर्तन की दर और दूसरा प्रत्येक संयुग्मी संवेग के परिवर्तन की दर को हैमिल्टोनियन के आंशिक व्युत्पन्न के रूप में देता है, जो प्रावस्था समष्टि के माध्यम से एक प्रणाली के प्रक्षेपवक्र को निर्धारित करते हैं।
Scope
यह विषय लेजेंड्रे रूपांतरण को शामिल करता है जो लैग्रेंजियन से हैमिल्टोनियन को परिभाषित करता है, प्रत्येक निर्देशांक-संवेग युग्म के लिए परिणामी विहित समीकरण, प्रावस्था समष्टि की संरचना और इसमें प्रक्षेपवक्र, और हैमिल्टोनियन प्रवाह के तहत प्रावस्था-समष्टि आयतन के संरक्षण पर लिउविल का प्रमेय।
Core questions
- लेजेंड्रे रूपांतरण द्वारा लैग्रेंजियन से हैमिल्टोनियन का निर्माण कैसे किया जाता है?
- प्रावस्था समष्टि में एक प्रक्षेपवक्र क्या दर्शाता है, और यह कैसे विकसित होता है?
- हैमिल्टोनियन प्रवाह के तहत प्रावस्था-समष्टि आयतन क्यों संरक्षित रहता है?
Key concepts
- लेजेंड्रे रूपांतरण
- संयुग्मी संवेग
- प्रावस्था समष्टि और प्रावस्था प्रक्षेपवक्र
- विहित समीकरण
- लिउविल का प्रमेय
- ऊर्जा सतह
Key theories
- हैमिल्टन के विहित समीकरण
- गति प्रथम-कोटि के समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है जिसमें प्रत्येक निर्देशांक के परिवर्तन की दर हैमिल्टोनियन के संवेग व्युत्पन्न के बराबर होती है और प्रत्येक संवेग की दर निर्देशांक व्युत्पन्न के ऋणात्मक के बराबर होती है।
- लिउविल का प्रमेय
- एक हैमिल्टोनियन द्वारा उत्पन्न प्रवाह प्रावस्था समष्टि में आयतन को संरक्षित करता है, इसलिए प्रारंभिक स्थितियों का एक क्षेत्र अपने प्रावस्था-समष्टि माप को बदले बिना विकसित होता है, जो सांख्यिकीय यांत्रिकी का एक आधारशिला है।
Clinical relevance
प्रावस्था-समष्टि चित्र और लिउविल का प्रमेय सांख्यिकीय यांत्रिकी और एन्सेम्बल विधियों का आधार हैं, त्वरक बीम गतिकी में जहां प्रावस्था-समष्टि क्षेत्र एक संरक्षित उत्सर्जकता है, और दीर्घकालिक कक्षीय और आणविक सिमुलेशन में उपयोग किए जाने वाले संख्यात्मक सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर्स का आधार हैं।
History
हैमिल्टन ने 1834-1835 के अपने पत्रों में गतिकी में एक सामान्य विधि पर विहित समीकरणों की शुरुआत की, जिसमें द्वितीय-कोटि के लैग्रेंजियन विवरण को एक सममित प्रथम-कोटि में बदल दिया गया। आयतन संरक्षण पर लिउविल का 1838 का प्रमेय और सांख्यिकीय एन्सेम्बल के लिए गिब्स द्वारा प्रावस्था समष्टि का बाद में उपयोग ने प्रावस्था-समष्टि दृष्टिकोण को भौतिकी के लिए केंद्रीय के रूप में स्थापित किया।
Key figures
- William Rowan Hamilton
- Joseph Liouville
- Josiah Willard Gibbs
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- arnold1989
Frequently asked questions
- प्रावस्था समष्टि क्या है?
- प्रावस्था समष्टि वह समष्टि है जिसके निर्देशांक सभी सामान्यीकृत स्थितियाँ और उनके संयुग्मी संवेग हैं; एक एकल बिंदु एक प्रणाली की तात्कालिक स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करता है, और प्रणाली का इतिहास इस समष्टि के माध्यम से एक वक्र है।
- हैमिल्टन के समीकरण प्रथम कोटि के क्यों होते हैं जबकि लैग्रेंज के द्वितीय कोटि के होते हैं?
- संवेगों को निर्देशांकों के साथ स्वतंत्र चर के रूप में मानकर, हैमिल्टोनियन सूत्रीकरण चरों की संख्या को दोगुना कर देता है लेकिन प्रत्येक समीकरण को प्रथम कोटि तक कम कर देता है, जिससे प्रावस्था समष्टि की सममित संरचना उजागर होती है।