यूलर समीकरण और घूर्णी गति
यूलर के समीकरण एक दृढ़ पिंड की घूर्णी गतिकी को उसके अपने प्रमुख-अक्ष फ्रेम में व्यक्त करते हैं, जो लगाए गए बलाघूर्णों के तहत कोणीय वेग के विकसित होने को नियंत्रित करते हैं।
Definition
यूलर के समीकरण तीन युग्मित अवकल समीकरण हैं, जो पिंड-स्थिर प्रमुख-अक्ष फ्रेम में लिखे गए हैं, जो लगाए गए बलाघूर्ण के घटकों को घूर्णन करते हुए दृढ़ पिंड के प्रमुख-अक्ष कोणीय वेगों के परिवर्तन की दरों से संबंधित करते हैं।
Scope
यह विषय पिंड फ्रेम में यूलर के गति के तीन समीकरणों, यूलर कोणों द्वारा पिंड के अभिविन्यास के वर्णन, सममित और असममित शीर्षों की बलाघूर्ण-मुक्त गति, और मध्यवर्ती-अक्ष प्रमेय सहित प्रमुख अक्षों के चारों ओर घूर्णन की स्थिरता को शामिल करता है। यह दृढ़-पिंड घूर्णन का गतिशील मूल है।
Core questions
- यूलर के समीकरण प्रयोगशाला फ्रेम के बजाय घूर्णन पिंड फ्रेम में क्यों लिखे जाते हैं?
- यूलर कोण अंतरिक्ष में पिंड के अभिविन्यास को कैसे प्राचलीकृत करते हैं?
- मध्यवर्ती प्रमुख अक्ष के चारों ओर घूर्णन अस्थिर क्यों होता है?
Key concepts
- यूलर के समीकरण
- पिंड फ्रेम बनाम अंतरिक्ष फ्रेम
- यूलर कोण
- सममित और असममित शीर्ष
- मध्यवर्ती-अक्ष अस्थिरता
- बलाघूर्ण-मुक्त गति
Key theories
- यूलर के गति के समीकरण
- प्रमुख-अक्ष पिंड फ्रेम में, बलाघूर्ण का प्रत्येक घटक संबंधित प्रमुख आघूर्ण गुणा कोणीय त्वरण और अन्य दो घटकों को युग्मित करने वाला एक जाइरोस्कोपिक पद के बराबर होता है, जिससे तीन युग्मित समीकरण प्राप्त होते हैं।
- मुक्त घूर्णन की स्थिरता (मध्यवर्ती-अक्ष प्रमेय)
- जड़त्व के सबसे बड़े और सबसे छोटे आघूर्णों के अक्षों के चारों ओर बलाघूर्ण-मुक्त घूर्णन स्थिर होता है, जबकि मध्यवर्ती अक्ष के चारों ओर घूर्णन अस्थिर होता है, जिससे लुढ़कते टेनिस-रैकेट प्रभाव उत्पन्न होता है।
Clinical relevance
यूलर के समीकरण और अभिविन्यास प्राचलीकरण अंतरिक्ष यान और विमान के रवैये की गतिकी, लुढ़कते उपग्रहों और प्रक्षेप्य के विश्लेषण, रोबोटिक अभिविन्यास नियंत्रण, और अस्थिर घूर्णन की भविष्यवाणी का आधार हैं, जिसमें मध्यवर्ती-अक्ष प्रभाव मुक्त गिरावट में घूमते पिंडों के लिए एक ज्ञात खतरा है।
History
यूलर ने अठारहवीं शताब्दी के मध्य में घूर्णी गति के अपने समीकरणों को व्युत्पन्न किया और पिंड के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कोणों को प्रस्तुत किया। पॉइन्सॉट ने बलाघूर्ण-मुक्त गति का एक ज्यामितीय निर्माण प्रदान किया, और यूलर, लैग्रेंज, और बाद में कोवालेवस्काया के हल करने योग्य मामले घूमते हुए शीर्ष के सिद्धांत में क्लासिक मील के पत्थर बन गए।
Key figures
- Leonhard Euler
- Louis Poinsot
- Joseph-Louis Lagrange
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- landau1976
Frequently asked questions
- टेनिस-रैकेट या मध्यवर्ती-अक्ष प्रभाव क्या है?
- अपने मध्यवर्ती प्रमुख अक्ष के चारों ओर घुमाया गया पिंड अस्थिर रूप से घूमता है, समय-समय पर पलटता रहता है, क्योंकि छोटे विक्षोभ बढ़ते हैं; इसके विपरीत, जड़त्व के सबसे बड़े या सबसे छोटे आघूर्णों के अक्षों के चारों ओर घूर्णन स्थिर होता है।
- यूलर के समीकरणों के लिए पिंड फ्रेम का उपयोग क्यों करें?
- पिंड फ्रेम में जड़त्व टेंसर प्रमुख अक्षों के साथ स्थिर और विकर्ण होता है, जो समीकरणों को सरल रखता है; इसकी कीमत फ्रेम के घूर्णन से जाइरोस्कोपिक युग्मन पदों की उपस्थिति है।