जड़त्व आघूर्ण टेन्सर
जड़त्व आघूर्ण टेन्सर यह बताता है कि किसी दृढ़ पिंड का द्रव्यमान उसकी अक्षों के परितः कैसे वितरित होता है, जो उसके कोणीय संवेग को उसके कोणीय वेग से संबंधित करता है।
Definition
जड़त्व आघूर्ण टेन्सर किसी दृढ़ पिंड के द्रव्यमान वितरण के द्वितीय आघूर्णों का सममित मैट्रिक्स है जो कोणीय वेग सदिश को पिंड के संदर्भ बिंदु के परितः कोणीय संवेग सदिश में रैखिक रूप से मैप करता है।
Scope
यह विषय एक सममित द्वितीय-कोटि टेन्सर के रूप में जड़त्व टेन्सर की परिभाषा, इसके विकर्ण आघूर्ण और ऑफ-विकर्ण जड़त्व के गुणनफल, इसे विकर्णित करने वाली प्रमुख अक्षों के अस्तित्व, समानांतर-अक्ष और लंबवत-अक्ष प्रमेय, और जड़त्व दीर्घवृत्त की व्याख्या को शामिल करता है। यह बताता है कि घूर्णन सामान्यतः घूर्णन अक्ष के साथ संरेखित न होने वाला कोणीय संवेग क्यों उत्पन्न करता है।
Core questions
- जड़त्व टेन्सर कोणीय वेग को कोणीय संवेग से कैसे संबंधित करता है?
- प्रमुख अक्षें क्या हैं, और वे घूर्णी गतिकी को कैसे सरल बनाती हैं?
- समानांतर-अक्ष और लंबवत-अक्ष प्रमेय जड़त्व आघूर्णों की गणना में कैसे मदद करते हैं?
Key concepts
- जड़त्व टेन्सर
- जड़त्व के गुणनफल
- प्रमुख अक्षें और प्रमुख आघूर्ण
- समानांतर-अक्ष प्रमेय
- लंबवत-अक्ष प्रमेय
- जड़त्व दीर्घवृत्त
Key theories
- प्रमुख अक्षें और विकर्णीकरण
- चूंकि जड़त्व टेन्सर वास्तविक और सममित होता है, इसे तीन ऑर्थोगोनल प्रमुख अक्षों और प्रमुख आघूर्णों को देने के लिए विकर्णित किया जा सकता है, जिनके साथ कोणीय संवेग और कोणीय वेग समानांतर होते हैं।
- समानांतर-अक्ष प्रमेय
- किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण, द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक समानांतर अक्ष के परितः आघूर्ण और द्रव्यमान तथा अक्षों के बीच की वर्ग दूरी के गुणनफल के योग के बराबर होता है, जिससे विस्थापित अक्षों के लिए गणना आसान हो जाती है।
Clinical relevance
जड़त्व टेन्सर कंपन से बचने के लिए घूर्णन मशीनरी को संतुलित करने, फ्लाईव्हील और जाइरोस्कोप डिजाइन करने, अंतरिक्ष यान और प्रक्षेप्य के पलटने की भविष्यवाणी करने, और किसी भी इंजीनियरिंग विश्लेषण के लिए आवश्यक है जिसमें एक विस्तारित पिंड की घूर्णी प्रतिक्रिया की आवश्यकता होती है।
History
ह्यूजेंस ने अपने संयुक्त पेंडुलम के कार्य में घूर्णन त्रिज्या और समानांतर-अक्ष संबंध प्रस्तुत किया, और यूलर ने अठारहवीं शताब्दी में मनमाने पिंडों के लिए जड़त्व के आघूर्णों और गुणनफलों को औपचारिक रूप दिया। पॉइन्सॉट के जड़त्व दीर्घवृत्त ने टेन्सर को एक विशद ज्यामितीय व्याख्या दी जो मानक बनी हुई है।
Key figures
- Leonhard Euler
- Louis Poinsot
- Christiaan Huygens
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- taylor2005
Frequently asked questions
- जड़त्व के गुणनफल क्या हैं?
- जड़त्व के गुणनफल जड़त्व टेन्सर के ऑफ-विकर्ण घटक होते हैं जो द्रव्यमान वितरण की विषमता को मापते हैं; जब अक्षों को प्रमुख अक्षों के साथ चुना जाता है तो वे शून्य हो जाते हैं, केवल प्रमुख आघूर्ण शेष रहते हैं।
- जड़त्व आघूर्ण एक संख्या के बजाय एक टेन्सर क्यों है?
- एकल संख्या केवल एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए पर्याप्त होती है। सामान्य त्रि-आयामी घूर्णन के लिए घूर्णी जड़त्व दिशा पर निर्भर करता है, इसलिए इसे एक टेन्सर द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए जो कोणीय वेग को कोणीय संवेग में मैप करता है।