केओस सिद्धांत

केओस सिद्धांत उन नियतात्मक प्रणालियों का अध्ययन करता है जिनकी प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता उनके दीर्घकालिक व्यवहार को प्रभावी ढंग से अप्रत्याशित बनाती है।

Definition

एक गतिशील प्रणाली अराजक (chaotic) होती है जब वह नियतात्मक (deterministic) होती है फिर भी प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता के साथ अनावर्ती परिबद्ध प्रक्षेपवक्र (aperiodic bounded trajectories) प्रदर्शित करती है, जिससे आस-पास की स्थितियाँ तेजी से भिन्न होती हैं और समय के साथ पूर्वानुमान तेजी से बिगड़ता है।

Scope

यह विषय प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता और बटरफ्लाई प्रभाव, विचलन के माप के रूप में ल्यापुनोव घातांक, विचित्र आकर्षक (strange attractors) और भग्न संरचना (fractal structure), अवधि दोहरीकरण (period doubling) जैसे केओस के मार्ग, प्रतीकात्मक गतिकी (symbolic dynamics) और हॉर्सशू मानचित्र (horseshoe map), और अराजक प्रणालियों के पूर्वानुमान क्षितिज को शामिल करता है।

Core questions

• अराजक गति को यादृच्छिक या केवल जटिल गति से क्या अलग करता है?
• प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशीलता को कैसे मापा जाता है?
• कौन सी ज्यामितीय संरचनाएं, जैसे कि विचित्र आकर्षक (strange attractors), केओस का समर्थन करती हैं?
• किन मार्गों से एक प्रणाली केओस में संक्रमण करती है?

Key theories

संवेदनशील निर्भरता और ल्यापुनोव घातांक

अराजक प्रक्षेपवक्र एक धनात्मक ल्यापुनोव घातांक द्वारा निर्धारित दर पर तेजी से अलग होते हैं, जो यह निर्धारित करता है कि प्रणाली का कितनी दूर तक पूर्वानुमान लगाया जा सकता है।

विचित्र आकर्षक (Strange attractors)

अपव्ययी अराजक प्रणालियाँ भग्न ज्यामिति (fractal geometry) के आकर्षक (attractors) पर स्थिर होती हैं, जैसे कि लोरेंज आकर्षक (Lorenz attractor), जिस पर गतिकी अराजक फिर भी परिबद्ध होती है।

हॉर्सशू मानचित्र (Horseshoe map) और प्रतीकात्मक गतिकी (symbolic dynamics)

स्माले का हॉर्सशू दर्शाता है कि कैसे खिंचाव और मोड़ एक मजबूत अराजक अपरिवर्तनीय सेट (chaotic invariant set) का उत्पादन करते हैं जिसकी कक्षाएं प्रतीक अनुक्रमों द्वारा कोडित होती हैं, जो केओस के लिए एक कठोर तंत्र प्रदान करता है।

Clinical relevance

केओस मौसम और जलवायु की सीमित पूर्वानुमेयता, हृदय की लय और जनसंख्या जीव विज्ञान में अनियमित गतिकी, तरल पदार्थों में मिश्रण की व्याख्या करता है, और सुरक्षित संचार और यादृच्छिक-संख्या उत्पादन में इसका उपयोग किया जाता है; इसकी खोज ने नियतात्मक पूर्वानुमान के बारे में अपेक्षाओं को नया रूप दिया।

History

पॉइनकेयर ने तीन-पिंड समस्या (three-body problem) में अराजक व्यवहार की झलक देखी थी, लेकिन यह लोरेंज की 1963 में एक साधारण मौसम मॉडल में संवेदनशील निर्भरता की खोज थी जिसने इस क्षेत्र को क्रिस्टलीकृत किया। स्माले के हॉर्सशू ने एक कठोर तंत्र दिया, और फीगेनबाम के 1970 के दशक के काम ने केओस के अवधि-दोहरीकरण मार्ग में सार्वभौमिक स्थिरांकों का खुलासा किया।

Key figures

• Henri Poincare
• Edward Lorenz
• Stephen Smale
• Mitchell Feigenbaum

Seminal works

• lorenz1963
• strogatz2015
• wiggins1990

Frequently asked questions

बटरफ्लाई प्रभाव क्या है?

यह प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता के लिए एक ज्वलंत नाम है: एक अराजक प्रणाली में, प्रारंभिक अवस्था में एक छोटा सा परिवर्तन, लाक्षणिक रूप से एक तितली के पंखों का फड़फड़ाना, बाद की अवस्था में एक बड़ा अंतर पैदा कर सकता है। यह शब्द लोरेंज के वायुमंडलीय कार्य से आया है।

क्या केओस का मतलब है कि पूर्वानुमान असंभव है?

अल्पकालिक पूर्वानुमान अभी भी संभव है, लेकिन त्रुटियां तेजी से बढ़ती हैं, इसलिए सबसे बड़े ल्यापुनोव घातांक द्वारा निर्धारित एक सीमित पूर्वानुमान क्षितिज होता है। इसके परे, प्रणाली के केवल सांख्यिकीय गुणों का ही पूर्वानुमान लगाया जा सकता है, न कि उसकी सटीक स्थिति का।