आकर्षक (Attractors)

एक आकर्षक (attractor) एक ऐसा समुच्चय है जिसकी ओर एक गतिशील प्रणाली (dynamical system) की प्रक्षेपवक्र (trajectories) अभिसरित होती हैं, जो क्षणिक क्षय (transients decay) के बाद प्रणाली के दीर्घकालिक व्यवहार को दर्शाता है।

Definition

एक आकर्षक एक बंद अपरिवर्तनीय समुच्चय (closed invariant set) है जो प्रारंभिक स्थितियों के एक खुले पड़ोस (open neighborhood) को आकर्षित करता है, ताकि समय बढ़ने के साथ आस-पास की प्रक्षेपवक्र इसके करीब आ जाएं; यह एक बिंदु, एक बंद वक्र, या एक ज्यामितीय रूप से जटिल विचित्र आकर्षक हो सकता है।

Scope

यह विषय निश्चित-बिंदु (fixed-point), सीमा-चक्र (limit-cycle), और टोरस आकर्षक (torus attractors), आकर्षण के बेसिन (basins of attraction), समतल में पोंकारे-बेंडिक्सन प्रमेय (Poincare-Bendixson theorem), भग्न संरचना (fractal structure) वाले विचित्र आकर्षक (strange attractors), और लायपुनोव घातांक (Lyapunov exponents) तथा भग्न आयाम (fractal dimension) द्वारा आकर्षक के लक्षण वर्णन को शामिल करता है।

Core questions

• एक अपव्ययी प्रणाली (dissipative system) किन दीर्घकालिक अवस्थाओं में स्थिर होती है?
• कौन सी प्रारंभिक स्थितियाँ एक दिए गए आकर्षक की ओर आकर्षित होती हैं?
• समतल में और उच्च आयामों में किस प्रकार के आकर्षक संभव हैं?
• एक विचित्र आकर्षक की भग्न ज्यामिति को कैसे मापा जाता है?

Key theories

पोंकारे-बेंडिक्सन प्रमेय (Poincare-Bendixson theorem)

एक समतल प्रणाली की एक परिबद्ध प्रक्षेपवक्र जो संतुलन से बचती है, उसे एक आवधिक कक्षा (periodic orbit) के करीब आना चाहिए, इसलिए दो आयामों में एकमात्र आकर्षक निश्चित बिंदु और सीमा चक्र हैं, और अराजकता के लिए कम से कम तीन आयामों की आवश्यकता होती है।

विचित्र आकर्षक (Strange attractors)

अपव्ययी अराजक प्रणालियों में भग्न ज्यामिति के आकर्षक होते हैं जिन पर गतिकी प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील होती है, जिसका उदाहरण लोरेंज और हेनॉन आकर्षक हैं।

आकर्षण के बेसिन (Basins of attraction)

प्रत्येक आकर्षक प्रारंभिक स्थितियों के उस समुच्चय को आकर्षित करता है जो उसका बेसिन बनाता है, और प्रतिस्पर्धी बेसिनों के बीच की सीमाएँ स्वयं चिकनी या भग्न हो सकती हैं।

Clinical relevance

आकर्षक भौतिक और जैविक प्रणालियों के संभावित स्थिर व्यवहारों को वर्गीकृत करते हैं, संतुलन (equilibria), निरंतर दोलनों (sustained oscillations) और अराजकता (chaos) को अलग करते हैं, और बेसिन की ज्यामिति पारिस्थितिकी, जलवायु और इंजीनियरिंग में बहुस्थिरता (multistability) और वैकल्पिक अवस्थाओं के बीच पलटने (tipping) का आधार बनती है।

History

पोंकारे-बेंडिक्सन प्रमेय ने 1900 के आसपास समतल आकर्षक के सीमित प्रदर्शनों की सूची को निर्धारित किया। 'विचित्र आकर्षक' (strange attractor) शब्द रुएल और टेकेंस द्वारा 1971 में उनके अशांति के सिद्धांत में प्रस्तुत किया गया था, और लोरेंज आकर्षक (Lorenz attractor) भग्न अराजक आकर्षण (fractal chaotic attraction) का एक आदर्श उदाहरण बन गया।

Key figures

• Henri Poincare
• Ivar Bendixson
• Edward Lorenz
• David Ruelle

Seminal works

• guckenheimer1983
• wiggins1990

Frequently asked questions

एक विचित्र आकर्षक को 'विचित्र' क्यों कहा जाता है?

क्योंकि इसमें एक भग्न, गैर-पूर्णांक-आयामी ज्यामिति होती है और यह अराजक गतिकी का समर्थन करता है, साधारण बिंदुओं और लूपों के विपरीत जो सामान्य प्रणालियों को आकर्षित करते हैं। यह नाम इसकी जटिल संरचना और इस पर गति की प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता दोनों को इंगित करता है।

दो आयामों में अराजकता असंभव क्यों है?

पोंकारे-बेंडिक्सन प्रमेय दर्शाता है कि परिबद्ध समतल प्रक्षेपवक्र को एक निश्चित बिंदु या एक बंद चक्र के करीब आना चाहिए, जिससे अराजकता के अनावधिक विचरण के लिए कोई जगह नहीं बचती है। इसलिए, अराजक आकर्षक के लिए चरण स्थान (phase space) के कम से कम तीन आयामों की आवश्यकता होती है।