आकस्मिकता सारणियाँ और 2×2 सारणियाँ

एक आकस्मिकता सारणी (contingency table) गणनाओं का एक आयताकार व्यूह (array) है जो एक नमूने को दो (या अधिक) श्रेणीबद्ध चरों (categorical variables) द्वारा वर्गीकृत करता है, यह दर्शाता है कि श्रेणियों के प्रत्येक संयोजन में कितने अवलोकन आते हैं। स्वास्थ्य अनुसंधान में इसका सबसे सरल और सबसे महत्वपूर्ण रूप 2×2 सारणी है, जो एक द्विआधारी जोखिम (binary exposure) को एक द्विआधारी परिणाम (binary outcome) के विरुद्ध सारणीबद्ध करती है और यह जुड़ाव (association) के लगभग हर माप और परीक्षण के लिए प्रारंभिक बिंदु है।

Definition

एक आकस्मिकता सारणी एक नमूने का कोशिकाओं (cells) के एक ग्रिड में एक क्रॉस-वर्गीकरण है जिसकी प्रविष्टियाँ दो या अधिक श्रेणीबद्ध चरों की श्रेणियों के दिए गए संयोजन को साझा करने वाले अवलोकनों की आवृत्तियाँ (frequencies) हैं; एक 2×2 सारणी दो द्विआधारी चरों और चार कोशिकाओं वाला विशेष मामला है।

Scope

यह प्रविष्टि बताती है कि गणनाओं को आकस्मिकता सारणी में कैसे व्यवस्थित किया जाता है, 2×2 (चतुष्कोणीय) सारणी की संरचना और संकेतन, यह जो सीमांत (marginal) और संयुक्त वितरण (joint distributions) प्रदर्शित करती है, पंक्ति और स्तंभ चरों के बीच स्वतंत्रता का विचार, और सारणी की भूमिका एक सामान्य आधार के रूप में जिससे काई-वर्ग परीक्षण (chi-squared tests), सटीक परीक्षण (exact tests), और प्रभाव माप (effect measures) की गणना की जाती है। यह सारणी को एक पद्धतिगत वस्तु के रूप में मानती है, न कि नैदानिक मार्गदर्शन के रूप में।

Core questions

• दो श्रेणीबद्ध चरों को गणनाओं की कोशिकाओं में कैसे वर्गीकृत किया जाता है?
• सीमांत कुल और संयुक्त कोशिका आवृत्तियाँ क्या हैं, और स्वतंत्रता के तहत वे कैसे संबंधित हैं?
• द्विआधारी जोखिम और द्विआधारी परिणाम के लिए 2×2 सारणी विहित लेआउट (canonical layout) क्यों है?
• यदि पंक्ति और स्तंभ चर स्वतंत्र होते तो कोशिकाओं में कौन सी अपेक्षित गणनाएँ होतीं?

Key concepts

• पंक्तियाँ, स्तंभ और कोशिकाएँ
• सीमांत कुल और कुल योग
• संयुक्त और सशर्त वितरण
• स्वतंत्रता और स्वतंत्रता के तहत अपेक्षित गणनाएँ
• 2×2 (चतुष्कोणीय) सारणी लेआउट a, b, c, d
• जोखिम-द्वारा-परिणाम क्रॉस-सारणीकरण

Mechanisms

प्रत्येक अवलोकन को श्रेणियों के अपने संयोजन के अनुसार ठीक एक कोशिका में रखा जाता है, इसलिए सारणी संयुक्त आवृत्ति वितरण (joint frequency distribution) को रिकॉर्ड करती है; एक पंक्ति या स्तंभ में योग करने पर सीमांत कुल (marginal totals) प्राप्त होते हैं, और कोशिकाओं को सीमांतों से विभाजित करने पर सशर्त वितरण (conditional distributions) प्राप्त होते हैं। इस परिकल्पना के तहत कि दो चर स्वतंत्र हैं, एक कोशिका में अपेक्षित गणना (expected count) उसके पंक्ति और स्तंभ सीमांत कुल का गुणनफल होता है जिसे कुल योग से विभाजित किया जाता है, और देखे गए और अपेक्षित गणनाओं के बीच के अंतरों का मूल्यांकन जुड़ाव परीक्षण करते हैं। 2×2 मामले में चार कोशिकाओं को पारंपरिक रूप से a, b, c, d (जोखिम-ग्रस्त-मामला, जोखिम-ग्रस्त-गैर-मामला, जोखिम-रहित-मामला, जोखिम-रहित-गैर-मामला) के रूप में लेबल किया जाता है, और ये चार संख्याएँ सीधे जोखिम अनुपात (risk ratio), ऑड्स अनुपात (odds ratio), और काई-वर्ग सांख्यिकी (chi-squared statistic) प्रदान करती हैं। बड़े r×c सारणियाँ और बहु-मार्गी सारणियाँ (multi-way tables) उसी तर्क का विस्तार करती हैं, और एक 2×2 सारणी को तीसरे चर द्वारा स्तरीकृत करने पर मैन्टेल-हेन्ज़ेल विश्लेषण (Mantel-Haenszel analysis) में उपयोग की जाने वाली स्तरित सारणियाँ (layered tables) प्राप्त होती हैं।

Clinical relevance

2×2 सारणी वह रूप है जिसमें नैदानिक सटीकता (diagnostic accuracy), उपचार-प्रभाव (treatment-effect), और जोखिम-कारक (risk-factor) डेटा अक्सर प्रस्तुत किए जाते हैं, इसलिए इसे पढ़ने में सक्षम होना — कोशिकाओं, सीमांतों, और किसकी तुलना की जा रही है, इसकी पहचान करना — स्वास्थ्य साक्ष्य का मूल्यांकन करने के लिए मौलिक है। यह डेटा को व्यवस्थित करने और पढ़ने का एक तरीका है और यह व्यक्तिगत नैदानिक या उपचार निर्णयों का आधार नहीं है।

Epidemiology

कोहोर्ट (cohort), केस-कंट्रोल (case-control), और क्रॉस-सेक्शनल अध्ययन (cross-sectional studies), और द्विआधारी समापन बिंदुओं (binary endpoints) वाले यादृच्छिक परीक्षण (randomized trials), सभी अपने मूल में एक जोखिम या हस्तक्षेप के विरुद्ध एक परिणाम की 2×2 सारणी में संघनित होते हैं; नैदानिक-परीक्षण अध्ययन (diagnostic-test studies) परीक्षण परिणाम के विरुद्ध वास्तविक स्थिति की 2×2 सारणी का उपयोग करते हैं। इसलिए यह सारणी महामारी विज्ञान में अध्ययन डिजाइनों में एक साझा गणनात्मक प्रारंभिक बिंदु है।

History

“आकस्मिकता सारणी” शब्द का पता लगभग 1900 में कार्ल पियर्सन से चलता है, और फिशर के 1922 के पेपर ने स्पष्ट किया कि ऐसी सारणियों का विश्लेषण कैसे किया जाता है और इसमें शामिल स्वतंत्रता की कोटियाँ (degrees of freedom)। चतुष्कोणीय (2×2) सारणी बीसवीं सदी के चिकित्सा सांख्यिकी का मुख्य आधार बन गई, और फ्लेइस और एग्रेस्टी के संदर्भ ग्रंथों ने इसके संकेतन और इस पर निर्मित मापों और परीक्षणों के परिवार को संहिताबद्ध किया।

Key figures

• Karl Pearson
• Ronald A. Fisher
• Joseph Fleiss
• Alan Agresti

Seminal works

• fisher-1922
• fleiss-2003
• agresti-2013

Frequently asked questions

2×2 सारणी क्या है?

यह सबसे सरल आकस्मिकता सारणी है: दो पंक्तियाँ और दो स्तंभ एक द्विआधारी जोखिम (या हस्तक्षेप) को एक द्विआधारी परिणाम के विरुद्ध वर्गीकृत करते हैं, जिससे चार कोशिकाएँ मिलती हैं जिनकी गणनाओं का उपयोग जोखिम अनुपात, ऑड्स अनुपात और काई-वर्ग परीक्षणों की गणना के लिए किया जाता है।

एक आकस्मिकता सारणी में “स्वतंत्रता” का क्या अर्थ है?

दो चर स्वतंत्र होते हैं जब एक का वितरण दूसरे पर निर्भर नहीं करता है; स्वतंत्रता के तहत प्रत्येक कोशिका में अपेक्षित गणना उसके पंक्ति कुल को उसके स्तंभ कुल से गुणा करके कुल योग से विभाजित करने के बराबर होती है, और जुड़ाव परीक्षण इससे विचलन को मापते हैं।