काई-स्क्वायर और फिशर एग्जैक्ट टेस्ट

काई-स्क्वायर टेस्ट और फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट दो मानक प्रक्रियाएं हैं जिनका उपयोग यह पूछने के लिए किया जाता है कि क्या एक आकस्मिकता तालिका (contingency table) में दो श्रेणीबद्ध चर (categorical variables) संबंधित या स्वतंत्र हैं। काई-स्क्वायर टेस्ट स्वतंत्रता के तहत अपेक्षित सेल गणनाओं की तुलना प्रेक्षित सेल गणनाओं से करता है, जिसमें बड़े-नमूने के सन्निकटन (large-sample approximation) का उपयोग किया जाता है, जबकि फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट प्रेक्षित तालिका की संभावना की सीधे गणना करता है और इसका उपयोग तब किया जाता है जब गणनाएँ कम होती हैं।

Definition

संबंध का काई-स्क्वायर टेस्ट स्वतंत्रता की शून्य परिकल्पना (null hypothesis) के तहत प्रेक्षित और अपेक्षित सेल गणनाओं के बीच विसंगति को मापता है, जिसके परिणामस्वरूप प्राप्त सांख्यिकी को काई-स्क्वायर वितरण से संदर्भित किया जाता है; फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट इसके बजाय, निश्चित मार्जिन (margins) के साथ हाइपरज्यामितीय वितरण से, प्रेक्षित तालिका और उससे अधिक चरम प्रत्येक तालिका की सटीक संभावना की गणना करता है।

Scope

यह प्रविष्टि पियर्सन के काई-स्क्वायर सांख्यिकी और उसकी स्वतंत्रता की डिग्री (degrees of freedom), अपेक्षित-गणना की स्थिति जो काई-स्क्वायर सन्निकटन को उचित ठहराती है, निरंतरता (येट्स) सुधार (continuity (Yates) correction), हाइपरज्यामितीय वितरण (hypergeometric distribution) पर आधारित फिशर के एग्जैक्ट टेस्ट का तर्क, और जब एक एग्जैक्ट टेस्ट को सन्निकटन की जगह लेना चाहिए, इस व्यावहारिक प्रश्न को शामिल करती है। यह इन्हें संबंध के परीक्षणों के रूप में प्रस्तुत करता है, न कि नैदानिक मार्गदर्शन के रूप में, और यह बताता है कि वे यह आकलन करते हैं कि क्या कोई संबंध मौजूद है, न कि वह कितना बड़ा है।

Core questions

• क्या इस तालिका में दो श्रेणीबद्ध चर स्वतंत्र हैं, या संबंध का कोई प्रमाण है?
• काई-स्क्वायर सांख्यिकी प्रेक्षित और अपेक्षित गणनाओं से कैसे बनती है, और इसमें स्वतंत्रता की कितनी डिग्री होती है?
• काई-स्क्वायर सन्निकटन पर भरोसा करने के लिए अपेक्षित गणनाएँ कब बहुत कम होती हैं?
• फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट बड़े-नमूने के सन्निकटन से कैसे बचता है, और “मार्जिन पर कंडीशनिंग” का क्या अर्थ है?

Key concepts

• प्रेक्षित बनाम अपेक्षित गणनाएँ
• पियर्सन काई-स्क्वायर सांख्यिकी
• स्वतंत्रता की डिग्री (r-1)(c-1)
• बड़े-नमूने (एसिम्प्टोटिक) सन्निकटन
• अपेक्षित-गणना अंगूठे का नियम
• येट्स निरंतरता सुधार
• हाइपरज्यामितीय वितरण और निश्चित मार्जिन
• एग्जैक्ट बनाम एसिम्प्टोटिक p-मान

Mechanisms

स्वतंत्रता के तहत, प्रत्येक सेल की अपेक्षित गणना उसकी पंक्ति के कुल (row total) को उसके कॉलम के कुल (column total) से गुणा करके कुल योग (grand total) से विभाजित करने पर प्राप्त होती है। पियर्सन का काई-स्क्वायर सांख्यिकी सभी सेलों में प्रेक्षित और अपेक्षित गणनाओं के बीच के वर्ग अंतर को अपेक्षित गणना से विभाजित करके योग करता है; एक r×c तालिका के लिए इस सांख्यिकी की तुलना (r−1)(c−1) स्वतंत्रता की डिग्री पर काई-स्क्वायर वितरण से की जाती है, स्वतंत्रता की डिग्री का यह परिणाम फिशर ने 1922 में स्पष्ट किया था। जब अपेक्षित गणनाएँ कम होती हैं तो सन्निकटन बिगड़ जाता है, जिससे एक सामान्य दिशानिर्देश मिलता है कि अपेक्षित गणनाएँ सामान्यतः लगभग पाँच से अधिक होनी चाहिए; येट्स निरंतरता सुधार (Yates continuity correction) को 2×2 सन्निकटन में सुधार के लिए प्रस्तावित किया गया था। फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट पंक्ति और कॉलम मार्जिन को निश्चित मानकर और हाइपरज्यामितीय वितरण से, प्रेक्षित तालिका और प्रत्येक अधिक चरम तालिका की सटीक संभावना की गणना करके सन्निकटन से बचता है, उन्हें p-मान में जोड़ता है। क्योंकि यह सटीक है, इसे विरल तालिकाओं (sparse tables) के लिए पसंद किया जाता है, हालांकि समीक्षाएँ इसकी सशर्त, रूढ़िवादी प्रकृति को नोट करती हैं और उपलब्ध परीक्षणों में से विशिष्ट विकल्पों की सिफारिश करती हैं।

Clinical relevance

क्या कोई अध्ययन यह बताता है कि कोई एक्सपोजर किसी परिणाम से संबंधित है या नहीं, अक्सर इनमें से किसी एक परीक्षण पर निर्भर करता है, इसलिए यह समझना कि वे क्या करते हैं — और यह कि एक छोटा p-मान एक संबंध का संकेत देता है लेकिन उसके आकार के बारे में कुछ नहीं कहता — स्वास्थ्य अनुसंधान का मूल्यांकन करने का एक हिस्सा है। ये परीक्षण संबंध के साक्ष्य का आकलन करने के उपकरण हैं और व्यक्तिगत निदान या उपचार निर्णयों का आधार नहीं हैं।

Epidemiology

काई-स्क्वायर और फिशर एग्जैक्ट टेस्ट महामारी विज्ञान और नैदानिक अनुसंधान में 2×2 और बड़ी आकस्मिकता तालिकाओं के लिए डिफ़ॉल्ट सार्थकता परीक्षण (significance tests) हैं, जो जोखिम अनुपात (risk ratios) और ऑड्स अनुपात (odds ratios) के साथ होते हैं जो समान संबंधों को निर्धारित करते हैं। एग्जैक्ट टेस्ट का उपयोग छोटे नमूनों या दुर्लभ घटनाओं के लिए नियमित रूप से किया जाता है जहाँ काई-स्क्वायर सन्निकटन अविश्वसनीय होता है।

History

कार्ल पियर्सन ने 1900 में काई-स्क्वायर गुडनेस-ऑफ-फिट सांख्यिकी (goodness-of-fit statistic) की शुरुआत की; फिशर के 1922 के पेपर ने आकस्मिकता तालिकाओं के लिए स्वतंत्रता की डिग्री को सही किया, और फिशर ने बाद में छोटे नमूनों के लिए अपने नाम पर एग्जैक्ट टेस्ट तैयार किया। येट्स ने 1934 में 2×2 तालिकाओं के लिए अपना निरंतरता सुधार प्रस्तावित किया। इन और संबंधित प्रक्रियाओं के बीच आधुनिक सिफारिश को पद्धतिगत समीक्षाओं और पाठ्यपुस्तकों में संश्लेषित किया गया है।

Debates

छोटे 2×2 तालिकाओं के लिए एग्जैक्ट बनाम एसिम्प्टोटिक परीक्षण

फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट दोनों मार्जिन पर कंडीशन करता है और सटीक होता है लेकिन रूढ़िवादी होने की प्रवृत्ति रखता है, जबकि असंशोधित काई-स्क्वायर छोटे नमूनों के लिए एंटी-रूढ़िवादी हो सकता है और येट्स सुधार अत्यधिक सुधार करता है; इसलिए समीक्षाएँ एक ही नियम के बजाय सूक्ष्म सिफारिशें देती हैं।

Key figures

• Karl Pearson
• Ronald A. Fisher
• Frank Yates
• Alan Agresti

Seminal works

• pearson-1900
• fisher-1922
• lydersen-2009

Frequently asked questions

काई-स्क्वायर टेस्ट के बजाय फिशर के एग्जैक्ट टेस्ट का उपयोग कब करना चाहिए?

जब तालिका छोटी या विरल हो — आमतौर पर जब एक या अधिक अपेक्षित सेल गणनाएँ कम हों — तो काई-स्क्वायर बड़े-नमूने का सन्निकटन अविश्वसनीय हो सकता है, और फिशर का एग्जैक्ट टेस्ट, जो एक सटीक संभावना की गणना करता है, को प्राथमिकता दी जाती है।

क्या एक महत्वपूर्ण काई-स्क्वायर टेस्ट मुझे बताता है कि संबंध कितना मजबूत है?

नहीं। ये परीक्षण यह संकेत देते हैं कि क्या संबंध का कोई प्रमाण है; संबंध का आकार एक अलग प्रभाव माप जैसे जोखिम अनुपात या ऑड्स अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे p-मान के साथ रिपोर्ट किया जाना चाहिए।