Quadrature de Gauss

La quadrature de Gauss choisit à la fois les nœuds et les poids d'une règle de quadrature afin de maximiser son degré d'exactitude polynomiale, intégrant des polynômes de degré 2n-1 exactement avec seulement n évaluations de fonction.

Definition

La quadrature de Gauss est une famille de règles de quadrature dont les nœuds sont les racines de polynômes orthogonaux associés à une fonction de poids, choisis conjointement avec leurs poids pour atteindre le degré d'exactitude maximal possible pour un nombre donné de nœuds.

Scope

Ce sujet aborde la construction des règles de Gauss à partir des racines de polynômes orthogonaux, la règle de Gauss-Legendre et ses variantes pondérées (Gauss-Tchebychev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre), l'algorithme de Golub-Welsch pour le calcul des nœuds et des poids, ainsi que les extensions de Gauss-Kronrod utilisées pour l'estimation pratique des erreurs.

Core questions

• Comment le placement des nœuds aux racines des polynômes orthogonaux double-t-il le degré d'exactitude par rapport aux règles à nœuds fixes ?
• Comment les nœuds et les poids sont-ils calculés avec précision pour une fonction de poids donnée ?
• Comment les règles de Gauss pondérées gèrent-elles les intégrales avec des fonctions de poids singulières ou à domaine infini ?
• Comment des estimations d'erreur fiables sont-elles obtenues, par exemple via les paires de Gauss-Kronrod ?

Key theories

Degré d'exactitude maximal

Une règle de quadrature à n points peut être exacte pour des polynômes jusqu'au degré 2n-1, et ce maximum est atteint précisément lorsque les nœuds sont les racines du polynôme orthogonal de degré n pour la fonction de poids, avec tous les poids positifs.

Algorithme de Golub-Welsch

Les nœuds et les poids d'une règle de Gauss sont obtenus comme les valeurs propres et les composantes carrées du premier vecteur propre de la matrice de Jacobi symétrique tridiagonale formée à partir des coefficients de récurrence des polynômes orthogonaux, transformant la construction de la quadrature en un calcul de valeurs propres.

Mechanisms

Les polynômes orthogonaux satisfont une relation de récurrence à trois termes dont les coefficients remplissent une matrice de Jacobi symétrique tridiagonale ; l'algorithme de Golub-Welsch calcule ses valeurs propres (les nœuds de quadrature) et utilise les premières composantes des vecteurs propres pour retrouver les poids, le tout de manière stable. Modifier la fonction de poids — pour une fonction présentant des singularités intrinsèques ou supportée sur une demi-droite ou la droite entière — conduit aux règles de Gauss-Tchebychev, Gauss-Laguerre ou Gauss-Hermite qui absorbent analytiquement les comportements difficiles. Les règles de Gauss-Kronrod réutilisent les nœuds de Gauss et ajoutent des nœuds intercalés de sorte qu'une estimation d'ordre supérieur, et par conséquent une estimation d'erreur, est obtenue à un coût supplémentaire modeste.

Clinical relevance

La quadrature de Gauss est un outil fondamental pour l'évaluation des intégrales d'éléments et de rigidité dans l'analyse par éléments finis, pour le calcul des moments et des espérances par rapport aux fonctions de poids de probabilité en statistique et en quantification d'incertitude, et pour l'évaluation de haute précision d'intégrales lisses dans l'ensemble de la physique et de l'ingénierie, où la minimisation du nombre d'évaluations coûteuses de l'intégrande est primordiale.

History

Gauss a dérivé sa quadrature optimale en 1814 ; Jacobi l'a reliée aux polynômes orthogonaux, et le traitement computationnel moderne a été établi par l'algorithme de Golub-Welsch en 1969, qui a rendu les nœuds et les poids calculables de manière routinière et a intégré les règles de Gauss dans les bibliothèques numériques standard.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

Comment n points peuvent-ils intégrer exactement un polynôme de degré 2n-1 ?

Étant donné que les n nœuds et les n poids sont des paramètres libres, il y a 2n degrés de liberté, ce qui est suffisant pour correspondre aux intégrales de 2n polynômes de base (degré 0 à 2n-1). Le placement des nœuds aux racines des polynômes orthogonaux permet d'atteindre précisément cet objectif.

Comment l'exactitude d'une règle de Gauss est-elle vérifiée en pratique ?

Une approche courante est la paire de Gauss-Kronrod, qui augmente une règle de Gauss avec des nœuds supplémentaires pour produire une estimation d'ordre supérieur ; la différence entre les deux estimations sert d'estimation d'erreur pratique utilisée par les intégrateurs adaptatifs.