Interpolation polynomiale

L'interpolation polynomiale construit le polynôme unique de degré au plus n qui passe par n+1 points de données donnés, fournissant une base pour la différenciation, l'intégration et l'approximation de fonctions.

Definition

L'interpolation polynomiale est la détermination du polynôme de plus petit degré qui correspond à des valeurs prescrites (et éventuellement à des dérivées) en un ensemble donné de points, appelés nœuds d'interpolation.

Scope

Ce sujet couvre l'existence et l'unicité du polynôme d'interpolation, les représentations de Lagrange et de Newton par différences divisées, la forme barycentrique utilisée pour une évaluation stable, la formule d'erreur d'interpolation et le phénomène de Runge qui motive les distributions de points de Chebyshev.

Core questions

• Pourquoi le polynôme d'interpolation passant par n+1 points distincts est-il unique, et comment est-il représenté ?
• Comment les formes de Lagrange et de Newton se comparent-elles, et pourquoi la forme barycentrique est-elle préférée pour l'évaluation ?
• Que dit la formule d'erreur d'interpolation sur la précision, et comment le placement des nœuds l'affecte-t-il ?
• Pourquoi l'interpolation aux points équidistants échoue-t-elle pour les degrés élevés, et comment les nœuds de Chebyshev y remédient-ils ?

Key theories

Existence et unicité

Pour n+1 nœuds distincts, il existe exactement un polynôme de degré au plus n correspondant aux valeurs prescrites, une conséquence de la non-singularité du système de Vandermonde ; les formes de Lagrange et de Newton donnent deux représentations constructives de ce même polynôme.

Erreur d'interpolation et choix des nœuds

L'erreur d'interpolation est la différence divisée d'ordre n+1 multipliée par le polynôme nodal ; la minimisation du maximum du polynôme nodal guide le choix des nœuds de Chebyshev, qui suppriment le phénomène de Runge et produisent une précision quasi-optimale.

Mechanisms

La forme de Newton construit l'interpolant de manière incrémentale en utilisant des différences divisées, de sorte que l'ajout d'un nœud ne nécessite qu'un terme supplémentaire. La forme barycentrique réécrit l'interpolant de Lagrange avec des poids précalculés, permettant d'évaluer l'interpolant en temps linéaire par point avec une excellente stabilité numérique. La formule d'erreur exprime la différence entre la fonction et l'interpolant au moyen d'une dérivée d'ordre élevé et du produit des distances aux nœuds, qui est faible à l'intérieur et grande près des extrémités pour les nœuds équidistants — la source du phénomène de Runge — mais bornée uniformément pour les nœuds de Chebyshev.

Clinical relevance

L'interpolation polynomiale constitue la base des formules de différenciation et d'intégration numériques, pour la construction de stencils de quadrature et de différences finies, pour les méthodes spectrales et pour l'évaluation de fonctions tabulées ; son analyse d'erreur renseigne sur la densité et l'emplacement d'échantillonnage des données pour une reconstruction précise.

History

Les formules d'interpolation remontent à Newton et Lagrange, mais la compréhension moderne a été affinée par l'exemple de Runge en 1901 montrant une divergence aux points équidistants et par la reconnaissance au XXe siècle que les nœuds de Chebyshev et la formule barycentrique stable rendent l'interpolation de haut degré à la fois précise et pratique.

Key figures

• Joseph-Louis Lagrange
• Isaac Newton
• Carl Runge
• Pafnuty Chebyshev

Seminal works

• trefethen2013
• powell1981

Frequently asked questions

Un polynôme d'interpolation de degré supérieur est-il toujours plus précis ?

Pas nécessairement. Avec des nœuds équidistants, l'augmentation du degré peut provoquer de grandes oscillations près des extrémités de l'intervalle (le phénomène de Runge) et réduire la précision. L'utilisation de nœuds distribués selon Chebyshev ou d'une interpolation par morceaux (spline) rétablit une convergence fiable.

Quelle représentation de l'interpolant devrait être utilisée en pratique ?

La forme barycentrique est généralement préférée : une fois ses poids calculés, elle évalue rapidement l'interpolant et est numériquement stable, contrairement à la résolution directe du système de Vandermonde, qui est mal conditionné.