Quadrature de Newton-Cotes

Les règles de Newton-Cotes approximent une intégrale en intégrant le polynôme qui interpole la fonction à intégrer (intégrande) en des points équidistants, ce qui donne des formules bien connues telles que les règles trapézoïdale et de Simpson.

Definition

Une règle de quadrature de Newton-Cotes est une règle de quadrature interpolatoire dont les nœuds sont équidistants sur l'intervalle d'intégration, avec des poids obtenus en intégrant le polynôme d'interpolation correspondant.

Scope

Ce sujet couvre les formules de Newton-Cotes fermées et ouvertes, leurs degrés d'exactitude et leurs termes d'erreur, les règles trapézoïdale et de Simpson composites obtenues par subdivision de l'intervalle, l'intégration de Romberg via l'extrapolation de Richardson, et l'instabilité des règles de Newton-Cotes d'ordre élevé qui limite leur degré pratique.

Core questions

• Comment les règles trapézoïdale et de Simpson sont-elles dérivées en tant qu'interpolants intégrés ?
• Quels sont les termes d'erreur de ces règles, et pourquoi la règle de Simpson gagne-t-elle un ordre supplémentaire grâce à la symétrie ?
• Comment les règles composites et l'extrapolation de Romberg améliorent-elles systématiquement la précision ?
• Pourquoi les règles de Newton-Cotes d'ordre élevé deviennent-elles instables, et qu'est-ce qui limite leur utilisation ?

Key theories

Degré d'exactitude et termes d'erreur

La règle trapézoïdale est exacte pour les fonctions à intégrer (intégrandes) linéaires avec une erreur proportionnelle à la dérivée seconde, tandis que la règle de Simpson, par symétrie, est exacte pour les cubiques avec une erreur proportionnelle à la dérivée quatrième, gagnant un ordre au-delà de son degré d'interpolation.

Règles composites et intégration de Romberg

L'application d'une règle de base sur de nombreux sous-intervalles donne une règle composite dont l'erreur diminue polynomialement avec la taille du pas ; l'extrapolation de Richardson de la règle trapézoïdale composite produit le schéma de Romberg rapidement convergent.

Mechanisms

Chaque règle de base intègre l'interpolant équidistant exactement : la règle trapézoïdale intègre un ajustement linéaire, la règle de Simpson une parabole. Les règles composites partitionnent l'intervalle et somment les règles de base sur chaque segment, de sorte que la réduction de moitié du pas diminue l'erreur de manière prévisible. L'intégration de Romberg tabule les estimations trapézoïdales composites à des pas successivement divisés par deux et applique une extrapolation de Richardson répétée, annulant les termes d'erreur dominants pour atteindre une précision d'ordre élevé pour les fonctions à intégrer (intégrandes) lisses. Les règles de Newton-Cotes d'ordre élevé sur un seul intervalle acquièrent de grands poids oscillatoires de signes mixtes, reflétant le phénomène de Runge, ce qui provoque des annulations et une instabilité.

Clinical relevance

Les règles de Newton-Cotes, en particulier les formes trapézoïdale et de Simpson composites, sont les outils de quadrature par défaut à faible coût lorsque les échantillons de la fonction à intégrer (intégrande) sont naturellement équidistants — par exemple, les données expérimentales tabulées, l'intégration de séries temporelles et le post-traitement simple de simulations — et l'intégration de Romberg fournit des résultats précis pour les fonctions lisses avec un codage minimal.

History

Ces règles trouvent leur origine chez Newton et Cotes au début du XVIIIe siècle et chez Thomas Simpson, dont la règle porte son nom ; le schéma d'extrapolation de Werner Romberg de 1955 a transformé la règle trapézoïdale élémentaire en une méthode de haute précision et reste un outil d'enseignement et de calcul standard.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

Pourquoi la règle de Simpson est-elle plus précise que la règle trapézoïdale ?

La règle de Simpson ajuste une parabole à travers trois points plutôt qu'une ligne à travers deux, et grâce à la symétrie, elle intègre exactement les polynômes cubiques, de sorte que son erreur dépend de la dérivée quatrième et diminue beaucoup plus rapidement à mesure que la taille du pas diminue.

Pourquoi ne pas simplement utiliser une règle de Newton-Cotes d'ordre très élevé ?

Les règles de Newton-Cotes d'ordre élevé sur des nœuds équidistants développent de grands poids avec des signes alternés, ce qui provoque des annulations numériques et une instabilité. En pratique, on utilise plutôt des règles composites d'ordre faible, l'extrapolation de Romberg ou la quadrature de Gauss.