Extension de corps

Une extension de corps est un corps contenant un corps plus petit comme sous-corps, l'objet fondamental de la théorie des corps dont la « taille » est mesurée par son degré en tant qu'espace vectoriel.

Definition

Une extension de corps est une paire constituée d'un corps et d'un sous-corps ; de manière équivalente, le corps plus grand est considéré comme un espace vectoriel sur le plus petit, et la dimension de cet espace vectoriel est le degré de l'extension.

Scope

Ce sujet aborde le degré d'une extension, les éléments algébriques versus transcendants, les extensions simples et les polynômes minimaux, la loi des degrés pour les tours d'extensions, les extensions finiment engendrées et algébriques, et l'application à la constructibilité classique à la règle et au compas.

Core questions

• Comment la « taille » d'une extension de corps est-elle mesurée ?
• Quand un élément est-il algébrique sur le corps de base, et quel est son polynôme minimal ?
• Comment les degrés se multiplient-ils à travers une tour d'extensions ?
• Comment la théorie des corps résout-elle les problèmes de construction classiques ?

Key theories

Degré et loi des tours

Le degré d'une extension est sa dimension en tant qu'espace vectoriel sur le corps de base, et dans une tour d'extensions, les degrés se multiplient, faisant du degré un invariant fondamental additif dans l'exposant.

Polynôme minimal d'un élément algébrique

Un élément algébrique sur un corps est la racine d'un polynôme irréductible unitaire unique, le polynôme minimal, dont le degré est égal au degré de l'extension simple qu'il engendre.

Constructibilité

Une longueur est constructible à la règle et au compas seulement si elle appartient à une tour d'extensions de degré deux ; par conséquent, le degré de l'extension qu'elle engendre doit être une puissance de deux, ce qui établit l'impossibilité de la duplication du cube et de la trisection d'un angle général.

Clinical relevance

Les extensions de corps constituent le cadre d'étude des racines de polynômes et de la construction de nouveaux systèmes de nombres, notamment les nombres complexes, les corps de nombres algébriques et les corps finis. Elles transforment les problèmes de construction grecs classiques en calculs de degrés et sont à la base de la théorie de Galois.

History

Kronecker a montré comment adjoindre une racine d'un polynôme à un corps en quotientant un anneau de polynômes, offrant ainsi une construction algébrique aux extensions. Le mémoire de Steinitz de 1910 a édifié la théorie abstraite des corps et de leurs extensions, et Wantzel avait auparavant utilisé des arguments de degré pour prouver l'impossibilité de plusieurs constructions classiques.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois
• Pierre Wantzel

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Que mesure le degré d'une extension de corps ?

C'est la dimension du corps plus grand en tant qu'espace vectoriel sur le plus petit. Une extension de degré deux est obtenue en adjoignant une racine carrée, par exemple, et les degrés se multiplient lorsque les extensions sont empilées en une tour.

Comment cela résout-il la trisection de l'angle ?

Les points constructibles engendrent des extensions dont le degré est une puissance de deux. La trisection d'un angle général nécessiterait la résolution d'une cubique irréductible, donnant une extension de degré trois, ce qui n'est pas une puissance de deux ; il est donc impossible de la réaliser à la règle et au compas.