Extension intégrale

Une extension intégrale est une extension d'anneaux dans laquelle chaque élément satisfait un polynôme unitaire sur le sous-anneau, généralisant ainsi les extensions de corps algébriques et régissant la relation entre les idéaux premiers des anneaux.

Definition

Un élément d'une extension d'anneaux est intégral sur un sous-anneau s'il est une racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans le sous-anneau ; l'extension est dite intégrale lorsque chaque élément est intégral, et la clôture intégrale est l'ensemble de tous ces éléments.

Scope

Ce sujet aborde les éléments intégraux et la dépendance intégrale, la clôture intégrale d'un anneau dans une extension et les anneaux normaux, les théorèmes du « lying-over », du « going-up » et du « going-down », ainsi que la normalisation de Noether, qui sont des résultats structurels fondamentaux pour la théorie de la dimension.

Core questions

• Que signifie pour un élément d'anneau d'être intégral sur un sous-anneau ?
• Qu'est-ce que la clôture intégrale, et quand un anneau est-il normal ?
• Comment les idéaux premiers se relèvent-ils et descendent-ils le long d'une extension intégrale ?
• Comment la normalisation de Noether présente-t-elle une algèbre comme une extension finie d'un anneau de polynômes ?

Key theories

Clôture intégrale et normalité

Les éléments intégraux sur un sous-anneau forment un sous-anneau, appelé clôture intégrale, et un domaine égal à sa propre clôture intégrale dans son corps de fractions est dit intégralement clos ou normal, ce qui constitue une condition de régularité essentielle.

Théorèmes du « lying-over » et du « going-up »

Pour une extension intégrale, tout idéal premier du sous-anneau est la contraction d'un idéal premier de l'extension (« lying over »), et les chaînes d'idéaux premiers se relèvent de manière compatible (« going up »), de sorte que les spectres premiers des deux anneaux sont étroitement liés.

Normalisation de Noether

Toute algèbre de type fini sur un corps est un module fini, et donc intégral, sur un sous-anneau de polynômes en des éléments algébriquement indépendants, ce qui constitue le cœur algébrique de la théorie de la dimension et de la géométrie des variétés affines.

Clinical relevance

Les extensions intégrales sont centrales en théorie algébrique des nombres, où l'anneau des entiers d'un corps de nombres est la clôture intégrale des entiers, et en géométrie algébrique, où la normalisation de Noether et le théorème du « going-up » sont les fondements de la théorie de la dimension et du comportement des morphismes finis entre variétés.

History

La dépendance intégrale abstrait les entiers algébriques de la théorie des nombres étudiés par Dedekind. Le lemme de normalisation d'Emmy Noether et les travaux de Krull dans les années 1920 et 1930 ont fait des extensions intégrales le fondement de la théorie de la dimension, interprétée géométriquement par la suite par Zariski et Grothendieck.

Key figures

• Emmy Noether
• Wolfgang Krull
• David Hilbert
• Oscar Zariski

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

Comment une extension intégrale généralise-t-elle une extension de corps algébrique ?

Sur un corps, intégral et algébrique signifient la même chose car les polynômes unitaires et les polynômes non nuls arbitraires ne diffèrent que par une unité. Sur un anneau général, la condition unitaire est essentielle, car elle caractérise les éléments qui se comportent comme des entiers algébriques.

Pourquoi la normalisation de Noether est-elle importante ?

Elle présente toute algèbre de type fini sur un corps comme une extension finie d'un anneau de polynômes, de sorte que sa dimension est égale au nombre de variables polynomiales. Cela fonde toute la théorie de la dimension des variétés affines sur une construction concrète.