Théorie des corps et théorie de Galois
La théorie des corps étudie l'arithmétique des corps et de leurs extensions, et la théorie de Galois établit un dictionnaire précis entre les extensions de corps et les groupes de symétries, résolvant des questions classiques concernant la résolution d'équations polynomiales.
Definition
Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. La théorie des corps étudie les corps et les extensions entre eux ; la théorie de Galois analyse une extension normale et séparable à travers son groupe d'automorphismes, le groupe de Galois.
Scope
Ce domaine couvre les extensions de corps et leurs degrés, les éléments algébriques et transcendants, les corps de décomposition et les clôtures algébriques, la séparabilité et la normalité, la correspondance de Galois entre les corps intermédiaires et les sous-groupes, la résolubilité par radicaux, et la structure des corps finis. Il constitue le point culminant d'une première séquence d'algèbre de deuxième cycle (master).
Sub-topics
Core questions
- Quel est le degré et la structure d'une extension de corps donnée, et est-elle algébrique ou transcendante ?
- Comment le groupe de Galois d'une extension classifie-t-il ses corps intermédiaires ?
- Quand une équation polynomiale peut-elle être résolue par radicaux ?
- Quels sont les corps finis possibles et comment sont-ils construits ?
Key theories
- Théorème fondamental de la théorie de Galois
- Pour une extension de Galois finie, il existe une bijection inversant l'inclusion entre les corps intermédiaires et les sous-groupes du groupe de Galois, sous laquelle les sous-groupes normaux correspondent aux sous-extensions normales.
- Résolubilité par radicaux
- Un polynôme est résoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est un groupe résoluble ; ce critère explique l'impossibilité d'une formule radicale générale pour les équations de degré cinq et supérieur.
- Classification des corps finis
- Pour chaque puissance de nombre premier, il existe, à isomorphisme près, exactement un corps fini de cet ordre, et son groupe multiplicatif est cyclique ; les corps finis forment une tour régie par la divisibilité de leurs degrés.
Clinical relevance
La théorie de Galois a résolu le problème millénaire de la résolution des équations polynomiales et les problèmes classiques de construction à la règle et au compas. Les corps finis sont indispensables en théorie des codes, en cryptographie et dans la génération de nombres pseudo-aléatoires, et la théorie plus large sous-tend la théorie algébrique des nombres.
History
S'appuyant sur la preuve d'Abel selon laquelle la quintique générale est insoluble par radicaux, Galois a introduit dans les années 1830 le groupe d'une équation et la correspondance qui porte désormais son nom. Steinitz a formulé la théorie abstraite moderne des corps en 1910, et Artin a reformulé la théorie de Galois en termes de groupes d'automorphismes et d'indépendance linéaire des caractères.
Key figures
- Évariste Galois
- Niels Henrik Abel
- Ernst Steinitz
- Emil Artin
- Leopold Kronecker
Related topics
Seminal works
- lang2002
- dummit2004
- artin2011
Frequently asked questions
- Pourquoi la quintique générale ne peut-elle pas être résolue par radicaux ?
- Selon le critère de Galois, la résolubilité par radicaux est équivalente à la résolubilité du groupe de Galois. Le groupe symétrique sur cinq lettres, qui apparaît comme le groupe de Galois d'une quintique générale, n'est pas résoluble, de sorte qu'aucune formule radicale générale n'existe.
- Que met réellement en correspondance la correspondance de Galois ?
- Elle associe chaque corps situé entre le corps de base et le corps supérieur au sous-groupe d'automorphismes qui le fixe, inversant les inclusions. Cela transforme des questions difficiles sur les corps en des questions plus traitables sur les groupes finis.