Corps de nombres et anneaux d'entiers

Un corps de nombres est une extension finie des nombres rationnels, et son anneau d'entiers est l'analogue arithmétique naturel des entiers ordinaires — un domaine de Dedekind dans lequel les idéaux, et non les éléments, se factorisent de manière unique.

Definition

Un corps de nombres est une extension de corps de degré fini des nombres rationnels ; son anneau d'entiers est constitué des éléments qui sont des racines de polynômes unitaires à coefficients entiers, formant un domaine de Dedekind.

Scope

Ce sujet couvre les nombres algébriques et les entiers algébriques, les corps de nombres ainsi que leur degré et leurs plongements, l'anneau d'entiers en tant que clôture intégrale des entiers dans le corps, les bases intégrales et le discriminant du corps, la caractérisation des anneaux d'entiers comme domaines de Dedekind, et la factorisation unique des idéaux non nuls en idéaux premiers.

Core questions

• Quels éléments d'un corps de nombres sont considérés comme des entiers, et pourquoi forment-ils un anneau ?
• Qu'est-ce qu'une base intégrale, et comment le discriminant d'un corps de nombres est-il défini et calculé ?
• Quelles propriétés font de l'anneau d'entiers un domaine de Dedekind ?
• Comment la factorisation unique des idéaux remplace-t-elle la factorisation unique des éléments ?

Key theories

Anneau d'entiers et clôture intégrale

Les entiers algébriques d'un corps de nombres forment son anneau d'entiers, la clôture intégrale des entiers dans le corps ; c'est un module libre de rang égal au degré du corps, avec une base intégrale.

Domaines de Dedekind et factorisation des idéaux

Les anneaux d'entiers sont noethériens, intégralement clos, de dimension un — c'est-à-dire des domaines de Dedekind — et dans tout domaine de Dedekind, chaque idéal non nul se factorise de manière unique en idéaux premiers.

Discriminant

Le discriminant d'une base intégrale est un invariant entier du corps qui détecte les nombres premiers ramifiés et contraint le corps via la borne de Minkowski et le théorème de finitude d'Hermite.

Clinical relevance

Les anneaux d'entiers et leur structure idéale constituent le cadre de l'algorithme de factorisation par le crible de corps de nombres et de la cryptographie basée sur les réseaux d'idéaux, où l'arithmétique d'un anneau d'entiers est la source à la fois de problèmes difficiles et d'opérations efficaces.

History

Kummer a travaillé avec les entiers cyclotomiques et les nombres idéaux dans les années 1840. Dedekind, dans des suppléments aux conférences de Dirichlet des années 1870, a défini l'anneau d'entiers et la notion moderne d'idéal, prouvant la factorisation unique des idéaux et fondant la théorie abstraite.

Key figures

• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker
• Ernst Kummer

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

L'anneau d'entiers est-il toujours un domaine de factorisation unique ?

Non. Les éléments n'ont pas nécessairement une factorisation unique, mais l'anneau est toujours un domaine de Dedekind, donc les idéaux en ont une ; l'anneau est un domaine de factorisation unique précisément lorsque son nombre de classes est un.

Que nous apprend le discriminant ?

Le discriminant du corps est un invariant entier dont les diviseurs premiers sont exactement les nombres premiers qui se ramifient dans le corps, et sa taille borne la complexité potentielle du corps.