Anneau de polynômes

Un anneau de polynômes est l'anneau des polynômes à une ou plusieurs indéterminées avec des coefficients dans un anneau de base, l'algèbre commutative libre qui modélise l'adjonction d'inconnues à un anneau.

Definition

Étant donné un anneau commutatif R, l'anneau de polynômes R[x] est constitué de sommes formelles finies de puissances d'une indéterminée x avec des coefficients dans R, avec l'addition et la multiplication usuelles ; l'itération permet d'obtenir des anneaux de polynômes à plusieurs variables.

Scope

Ce sujet couvre la construction des anneaux de polynômes à une et plusieurs variables, l'algorithme de division sur un corps, les critères de factorisation et d'irréductibilité tels que le lemme de Gauss et le critère d'Eisenstein, ainsi que le transfert de propriétés (factorisation unique, condition noethérienne) de l'anneau de base à l'anneau de polynômes.

Core questions

• Comment l'anneau de polynômes est-il construit et quelle propriété universelle satisfait-il ?
• Quand les polynômes peuvent-ils être divisés, et comment cela rend-il l'anneau de polynômes d'un corps euclidien ?
• Comment l'irréductibilité d'un polynôme est-elle détectée ?
• Quelles propriétés de l'anneau de base sont héritées par l'anneau de polynômes ?

Key theories

Algorithme de division et propriété universelle

Sur un corps, les polynômes admettent une division avec reste, faisant de l'anneau de polynômes à une variable un anneau euclidien ; plus généralement, R[x] est l'algèbre commutative libre sur R à un générateur, universelle pour l'envoi de x à tout élément d'une R-algèbre.

Lemme de Gauss

Si R est un anneau à factorisation unique, alors R[x] l'est aussi, et un polynôme primitif qui se factorise sur le corps des fractions se factorise déjà sur R, réduisant les questions d'irréductibilité au corps de base.

Critère d'Eisenstein

Un polynôme de type unitaire dont les coefficients non dominants sont divisibles par un nombre premier, avec le terme constant non divisible par son carré, est irréductible, fournissant un test suffisant rapide pour l'irréductibilité.

Clinical relevance

Les anneaux de polynômes constituent le cadre algébrique pour la résolution d'équations et pour la géométrie algébrique, où les quotients d'anneaux de polynômes sont des anneaux de coordonnées de variétés. Ils sont centraux en calcul formel (bases de Gröbner), en théorie des codes et dans la construction d'extensions de corps et de corps finis.

History

La manipulation formelle des polynômes est antérieure à l'algèbre abstraite, mais les travaux de Gauss sur la cyclotomie et les polynômes à coefficients entiers, ainsi que le critère d'irréductibilité d'Eisenstein, ont façonné la théorie moderne. Le théorème de la base de Hilbert a ensuite révélé que les anneaux de polynômes sur des corps possèdent des idéaux de type fini, fondant ainsi la géométrie algébrique.

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Ferdinand Eisenstein
• David Hilbert
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

Pourquoi l'anneau de polynômes sur un corps est-il si bien comporté ?

Sur un corps, l'algorithme de division est valide, de sorte que l'anneau de polynômes à une variable est un anneau euclidien et donc un anneau principal et un anneau à factorisation unique. Cela rend son arithmétique très similaire à celle des entiers.

Quelle est la propriété universelle d'un anneau de polynômes ?

L'application de l'indéterminée à tout élément d'une R-algèbre s'étend de manière unique à un homomorphisme d'anneaux de R[x]. Cette propriété de liberté est ce qui permet aux anneaux de polynômes de modéliser l'adjonction d'une inconnue générique, fondement de l'évaluation et de la substitution.