Corps de décomposition

Un corps de décomposition d'un polynôme est la plus petite extension de corps sur laquelle le polynôme se factorise complètement en facteurs linéaires, l'arène naturelle dans laquelle toutes ses racines résident.

Definition

Un corps de décomposition d'un polynôme sur un corps est une extension engendrée par toutes les racines du polynôme, dans laquelle il se factorise en facteurs linéaires, et qui est minimale avec cette propriété.

Scope

Ce sujet aborde la construction et l'existence des corps de décomposition, leur unicité à isomorphisme près, les extensions normales, le lien avec les clôtures algébriques, et le rôle des corps de décomposition en tant qu'extensions de Galois dans lesquelles les racines et les symétries d'un polynôme sont étudiées.

Core questions

• Pourquoi tout polynôme possède-t-il un corps dans lequel il se décompose complètement ?
• Le corps de décomposition d'un polynôme est-il unique ?
• Comment les corps de décomposition sont-ils liés aux extensions normales et aux clôtures algébriques ?
• Pourquoi les corps de décomposition sont-ils le cadre approprié pour la théorie de Galois ?

Key theories

Existence et unicité des corps de décomposition

Tout polynôme sur un corps possède un corps de décomposition, obtenu en adjoignant successivement des racines, et deux corps de décomposition d'un même polynôme sont isomorphes par un isomorphisme fixant le corps de base.

Corps de décomposition et normalité

Une extension finie est normale précisément lorsqu'elle est le corps de décomposition d'un certain polynôme, ou de manière équivalente lorsqu'elle contient tous les conjugués de chacun de ses éléments, ce qui est l'une des conditions définissant une extension de Galois.

Clôture algébrique comme corps de décomposition universel

Une clôture algébrique d'un corps est une extension dans laquelle tout polynôme se décompose, et elle est l'union des corps de décomposition de tous les polynômes, existant et étant unique à isomorphisme près pour tout corps.

Clinical relevance

Les corps de décomposition fournissent les extensions concrètes sur lesquelles les groupes de Galois agissent, ce qui en fait le fondement pour le calcul des groupes de Galois et pour l'étude de la résolubilité des équations. La même construction produit des clôtures algébriques et est utilisée pour construire des corps finis de tout ordre de puissance de nombre premier.

History

La méthode de Kronecker consistant à adjoindre des racines en quotientant les anneaux de polynômes permet la construction des corps de décomposition, et Steinitz a prouvé l'existence et l'unicité des clôtures algébriques dans sa théorie des corps abstraits de 1910. Ces résultats ont donné une base rigoureuse à l'utilisation implicite des corps de racines par Galois.

Key figures

• Leopold Kronecker
• Ernst Steinitz
• Évariste Galois

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• hungerford1974

Frequently asked questions

Comment un corps de décomposition est-il construit ?

On adjoint une racine d'un facteur irréductible en quotientant l'anneau de polynômes par ce facteur, puis on répète l'opération sur le corps plus grand jusqu'à ce que le polynôme se factorise en facteurs linéaires. Le corps minimal résultant est le corps de décomposition.

Pourquoi les corps de décomposition sont-ils importants pour la théorie de Galois ?

Un corps de décomposition est précisément une extension normale, et lorsqu'elle est séparable, c'est une extension de Galois. Son groupe de Galois permute les racines du polynôme, de sorte que le corps de décomposition est le lieu où l'analyse de la symétrie de l'équation a lieu.