Groupe de Galois

Le groupe de Galois d'une extension de corps est le groupe des automorphismes de corps fixant le corps de base, encodant les symétries des racines d'un polynôme et indexant les corps intermédiaires.

Definition

Pour une extension de corps, le groupe de Galois est le groupe des automorphismes du corps plus grand qui fixent chaque élément du corps de base ; l'extension est dite galoisienne lorsque ce groupe est d'ordre égal au degré, ce qui se produit précisément pour les extensions finies normales et séparables.

Scope

Ce sujet couvre les automorphismes d'extensions de corps, la définition du groupe de Galois, les extensions normales et séparables, le théorème fondamental de la théorie de Galois, ainsi que le calcul des groupes de Galois de polynômes et leur interprétation comme groupes de permutations des racines.

Core questions

• Quelles symétries une extension de corps possède-t-elle ?
• Quand une extension est-elle galoisienne, et quelle est la taille de son groupe d'automorphismes ?
• Comment le groupe de Galois correspond-il aux corps intermédiaires ?
• Comment le groupe de Galois d'un polynôme est-il réalisé comme un groupe de permutations de ses racines ?

Key theories

Théorème fondamental de la théorie de Galois

Pour une extension de Galois finie, il existe une bijection inversant l'inclusion entre les corps intermédiaires et les sous-groupes du groupe de Galois, selon laquelle le degré d'une sous-extension est égal à l'indice du sous-groupe correspondant.

Le groupe de Galois comme permutations des racines

Le groupe de Galois d'un polynôme séparable agit fidèlement sur ses racines, l'incorporant comme un sous-groupe du groupe symétrique sur ces racines, ce qui contraint et aide à calculer le groupe.

Théorème d'Artin sur les corps fixes

Si un groupe fini d'automorphismes agit sur un corps, le corps entier est une extension de Galois du sous-corps fixe avec ce groupe comme groupe de Galois, offrant une réciproque à la construction des groupes de Galois.

Clinical relevance

Le groupe de Galois transforme les questions concernant les extensions de corps et les équations polynomiales en problèmes de théorie des groupes ; sa résolubilité détermine la résolubilité par radicaux, et le problème inverse de Galois ainsi que les représentations galoisiennes le rendent central en théorie des nombres moderne et en géométrie arithmétique.

History

Galois a associé à chaque équation un groupe de permutations de ses racines dans les années 1830, le groupe de Galois originel. Dedekind et Artin ont reformulé cela en termes d'automorphismes de corps, et la formulation d'Artin en termes de corps fixes a donné à la théorie sa forme conceptuelle moderne.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

Quand une extension de corps est-elle galoisienne ?

Une extension finie est galoisienne lorsqu'elle est à la fois normale (elle contient tous les conjugués de chacun de ses éléments) et séparable (les polynômes minimaux ont des racines distinctes). De manière équivalente, le groupe d'automorphismes fixant le corps de base a un ordre égal au degré.

Pourquoi considérer le groupe de Galois comme permutant les racines ?

Un automorphisme fixant le corps de base doit envoyer les racines d'un polynôme vers d'autres racines, ainsi le groupe agit sur l'ensemble fini des racines. Cela réalise le groupe de Galois au sein d'un groupe symétrique, le rendant calculable et le reliant à la théorie des groupes de permutations.