Équations d'Euler-Lagrange

Les équations d'Euler-Lagrange sont les équations différentielles du mouvement qui découlent de l'exigence que l'action soit stationnaire, avec une équation pour chaque coordonnée généralisée.

Definition

Les équations d'Euler-Lagrange sont l'ensemble des équations différentielles du second ordre, obtenues en annulant la variation de l'action, qui régissent l'évolution temporelle de chaque coordonnée généralisée d'un système mécanique.

Scope

Ce sujet aborde la dérivation des équations d'Euler-Lagrange à partir du principe de Hamilton, leur forme pour les systèmes de coordonnées généralisées, la définition des moments généralisés (canoniques), le traitement des coordonnées cycliques conduisant à des moments conservés, et leur extension aux systèmes avec contraintes via les multiplicateurs de Lagrange. Elles constituent le principal résultat computationnel de la mécanique lagrangienne.

Core questions

• Comment les équations d'Euler-Lagrange découlent-elles de la condition d'action stationnaire ?
• Qu'est-ce qu'un moment généralisé, et quand est-il conservé ?
• Comment les contraintes sont-elles incorporées via les multiplicateurs de Lagrange ?

Key concepts

• Coordonnées et vitesses généralisées
• Moment généralisé (canonique)
• Coordonnées cycliques (ignorables)
• Multiplicateurs de Lagrange pour les contraintes
• Équivalence avec la deuxième loi de Newton

Key theories

Équations du mouvement d'Euler-Lagrange

Exiger une action stationnaire donne, pour chaque coordonnée généralisée, une équation égalant la dérivée temporelle du moment généralisé à la force généralisée dérivée du lagrangien.

Coordonnées cycliques et moments conservés

Lorsque le lagrangien ne dépend pas d'une coordonnée particulière, le moment généralisé correspondant est conservé, offrant une voie directe vers les constantes du mouvement.

Clinical relevance

Parce qu'elles génèrent des équations de mouvement directement à partir des énergies dans n'importe quelles coordonnées appropriées, les équations d'Euler-Lagrange sont l'outil de dérivation standard en robotique, en dynamique des corps multiples aérospatiaux et en ingénierie de contrôle, où les bilans de forces cartésiens seraient fastidieux.

History

Euler a dérivé l'équation centrale du calcul des variations dans les années 1740, et Lagrange l'a généralisée et appliquée systématiquement à la mécanique dans sa Mécanique analytique de 1788, donnant aux équations leur nom commun. Leur réinterprétation à travers le principe de Hamilton au XIXe siècle a clarifié leur origine variationnelle.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Les équations d'Euler-Lagrange sont-elles équivalentes aux lois de Newton ?

Oui, pour les systèmes que les deux décrivent. En coordonnées cartésiennes avec le lagrangien T − V, elles reproduisent exactement la deuxième loi de Newton, mais elles sont valides dans n'importe quelles coordonnées généralisées et gèrent les contraintes de manière plus élégante.

Qu'est-ce qu'un moment généralisé ?

C'est la dérivée du lagrangien par rapport à une vitesse généralisée ; pour les coordonnées cartésiennes ordinaires, il se réduit au moment linéaire usuel, mais pour une coordonnée angulaire, c'est un moment angulaire.