Équation d'Euler-Lagrange

L'équation d'Euler-Lagrange est l'équation différentielle que toute fonction extrémisant une fonctionnelle intégrale doit satisfaire, constituant la condition nécessaire centrale du calcul des variations.

Definition

Pour une fonctionnelle donnée par une intégrale d'un lagrangien dépendant d'une fonction et de sa dérivée, l'équation d'Euler-Lagrange stipule que la dérivée partielle du lagrangien par rapport à la fonction est égale à la dérivée par rapport à la variable indépendante de sa dérivée partielle par rapport à la dérivée de la fonction.

Scope

Ce sujet aborde la première variation d'une fonctionnelle et sa condition d'annulation, la dérivation de l'équation d'Euler-Lagrange, le lemme fondamental du calcul des variations, les conditions aux limites naturelles et essentielles, les premières intégrales telles que l'identité de Beltrami, ainsi que les généralisations à plusieurs fonctions, aux dérivées d'ordre supérieur et aux intégrales multiples.

Core questions

• Quelle équation un extrémal d'une fonctionnelle doit-il satisfaire ?
• Comment la condition est-elle dérivée de la première variation ?
• Quelles conditions aux limites accompagnent l'équation ?
• Quand les premières intégrales simplifient-elles l'équation résultante ?

Key theories

Première variation et stationnarité

L'annulation de la première variation d'une fonctionnelle pour toutes les perturbations admissibles, associée au lemme fondamental du calcul des variations, conduit à l'équation d'Euler-Lagrange.

Conditions aux limites naturelles

Lorsque les points d'extrémité sont libres plutôt que fixes, l'annulation de la première variation impose des conditions aux limites naturelles supplémentaires sur l'extrémal, au-delà de l'équation différentielle elle-même.

Premières intégrales et identité de Beltrami

Lorsque le lagrangien ne dépend pas explicitement de la variable indépendante, une quantité conservée, l'identité de Beltrami, réduit l'équation du second ordre à une équation du premier ordre.

Clinical relevance

L'équation d'Euler-Lagrange transforme les principes variationnels en équations différentielles résolubles, produisant les équations du mouvement en mécanique lagrangienne, les équations des géodésiques en géométrie, et les équations régissant l'élasticité, l'optique et la théorie des champs.

History

Euler a dérivé l'équation géométriquement en 1744, et Lagrange a reformulé la dérivation par sa méthode algébrique des variations vers 1755, donnant à l'équation sa forme et son nom modernes. Noether a ensuite relié les symétries du lagrangien aux quantités conservées par le biais de cette équation.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• Emmy Noether
• Eugenio Beltrami

Seminal works

• gelfand1963
• courant1953

Frequently asked questions

Pourquoi l'équation d'Euler-Lagrange n'est-elle qu'une condition nécessaire ?

Elle identifie les fonctions pour lesquelles la fonctionnelle est stationnaire, l'analogue d'un point critique, mais un tel point peut être un minimum, un maximum, ou aucun des deux. Déterminer lequel nécessite d'examiner la seconde variation ou d'appliquer des arguments de convexité ou de méthode directe.

Qu'est-ce qu'une condition aux limites naturelle ?

Lorsque les points d'extrémité des fonctions en compétition ne sont pas fixes, exiger que la première variation s'annule impose une condition supplémentaire à ces points d'extrémité, dérivée des termes de frontière. Ces conditions aux limites naturelles émergent automatiquement du principe variationnel plutôt que d'être imposées.