L'action est-elle réellement minimisée ?

Souvent, mais pas toujours. La condition définissante est que l'action soit stationnaire, ce qui signifie que sa première variation s'annule ; pour des chemins suffisamment longs, le point stationnaire peut être un point selle plutôt qu'un minimum.

Comment le principe se rapporte-t-il à la mécanique quantique ?

Dans l'intégrale de chemin de Feynman, une amplitude quantique somme les contributions de tous les chemins pondérées par l'exponentielle de l'action ; le chemin classique de moindre action émerge là où les contributions proches s'additionnent de manière constructive.

Principe de moindre action

Le principe de moindre action stipule que le chemin physique suivi par un système entre deux configurations est celui pour lequel l'intégrale d'action est stationnaire.

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Definition

Le principe de moindre action est l'affirmation qu'un système mécanique évolue le long de la trajectoire pour laquelle l'action, l'intégrale du Lagrangien sur le temps, est stationnaire sous de petites variations du chemin, les points d'extrémité étant fixes.

Scope

Ce sujet aborde la fonctionnelle d'action en tant qu'intégrale temporelle du Lagrangien, le principe d'action stationnaire de Hamilton, le calcul des variations utilisé pour extraire les chemins physiques, et la distinction entre l'ancien principe de Maupertuis (action abrégée) et le principe de Hamilton. Il explique pourquoi une seule formulation variationnelle peut englober l'ensemble de la mécanique.

Core questions

Qu'est-ce que l'action, et que signifie pour elle d'être stationnaire ?
En quoi le principe de Hamilton diffère-t-il de l'ancien principe de moindre action de Maupertuis ?
Pourquoi un seul principe variationnel peut-il reproduire toute la dynamique newtonienne ?

Key concepts

Fonctionnelle d'action
Calcul des variations
Chemin stationnaire (extrémal)
Conditions aux limites (aux extrémités)
Action abrégée

Key theories

Principe de Hamilton: Parmi tous les chemins avec des points d'extrémité fixes dans l'espace de configuration, le mouvement physique est celui dont l'intégrale d'action a une première variation nulle, rendant l'action stationnaire.
Principe de Maupertuis de l'action abrégée: Une forme variationnelle antérieure maintient l'énergie fixe et rend l'action abrégée stationnaire sur le chemin dans l'espace de configuration, équivalente sous des conditions appropriées au principe de Hamilton.

Clinical relevance

Le principe d'action constitue le pont conceptuel entre la physique classique et la physique moderne : il se généralise à la théorie relativiste des champs et fournit le fondement de la formulation par intégrale de chemin de Feynman en mécanique quantique, où chaque chemin contribue pondéré par l'action.

History

Maupertuis a proposé un principe de moindre action dans les années 1740 sur des bases métaphysiques, qu'Euler et Lagrange ont solidement établi mathématiquement grâce au calcul des variations. Hamilton l'a reformulé dans les années 1830 en le principe moderne d'action stationnaire sur le temps, qui est devenu le point de départ unificateur des mécaniques lagrangienne et hamiltonienne.

Key figures

Pierre Louis Maupertuis
Leonhard Euler
Joseph-Louis Lagrange
William Rowan Hamilton

Seminal works

lanczos1970
goldstein2002

Frequently asked questions

L'action est-elle réellement minimisée ?: Souvent, mais pas toujours. La condition définissante est que l'action soit stationnaire, ce qui signifie que sa première variation s'annule ; pour des chemins suffisamment longs, le point stationnaire peut être un point selle plutôt qu'un minimum.
Comment le principe se rapporte-t-il à la mécanique quantique ?: Dans l'intégrale de chemin de Feynman, une amplitude quantique somme les contributions de tous les chemins pondérées par l'exponentielle de l'action ; le chemin classique de moindre action émerge là où les contributions proches s'additionnent de manière constructive.