Équations de Hamilton et espace des phases

Les équations de Hamilton sont une paire d'équations du premier ordre décrivant l'évolution temporelle des coordonnées et des moments conjugués comme des dérivées de l'Hamiltonien, caractérisant le mouvement comme un flux dans l'espace des phases.

Definition

Les équations de Hamilton sont les deux équations différentielles du premier ordre, l'une donnant le taux de variation de chaque coordonnée et l'autre de chaque moment conjugué comme des dérivées partielles de l'Hamiltonien, qui déterminent la trajectoire d'un système à travers l'espace des phases.

Scope

Ce sujet aborde la transformation de Legendre qui définit l'Hamiltonien à partir du Lagrangien, les équations canoniques résultantes pour chaque paire coordonnée-moment, la structure de l'espace des phases et les trajectoires en son sein, ainsi que le théorème de Liouville sur la conservation du volume de l'espace des phases sous un flux Hamiltonien.

Core questions

• Comment l'Hamiltonien est-il construit à partir du Lagrangien par une transformation de Legendre ?
• Que représente une trajectoire dans l'espace des phases, et comment évolue-t-elle ?
• Pourquoi le volume de l'espace des phases est-il conservé sous un flux Hamiltonien ?

Key concepts

• Transformation de Legendre
• Moment conjugué
• Espace des phases et trajectoire de phase
• Équations canoniques
• Théorème de Liouville
• Surface d'énergie

Key theories

Équations canoniques de Hamilton

Le mouvement est régi par des équations du premier ordre dans lesquelles le taux de variation de chaque coordonnée est égal à la dérivée de l'Hamiltonien par rapport au moment, et le taux de variation de chaque moment est égal à l'opposé de la dérivée de l'Hamiltonien par rapport à la coordonnée.

Théorème de Liouville

Le flux généré par un Hamiltonien conserve le volume dans l'espace des phases, de sorte qu'une région de conditions initiales évolue sans modifier sa mesure dans l'espace des phases, ce qui est une pierre angulaire de la mécanique statistique.

Clinical relevance

La représentation dans l'espace des phases et le théorème de Liouville constituent le fondement de la mécanique statistique et des méthodes d'ensemble, de la dynamique des faisceaux d'accélérateurs où l'aire de l'espace des phases est une émittance conservée, et des intégrateurs symplectiques numériques utilisés dans les simulations orbitales et moléculaires à long terme.

History

Hamilton a introduit les équations canoniques dans ses articles de 1834-1835 sur une méthode générale en dynamique, transformant la description Lagrangienne du second ordre en une description symétrique du premier ordre. Le théorème de Liouville de 1838 sur la conservation du volume et l'utilisation ultérieure par Gibbs de l'espace des phases pour les ensembles statistiques ont établi le point de vue de l'espace des phases comme central en physique.

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Joseph Liouville
• Josiah Willard Gibbs

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

Qu'est-ce que l'espace des phases ?

L'espace des phases est l'espace dont les coordonnées sont toutes les positions généralisées et leurs moments conjugués ; un seul point spécifie entièrement l'état instantané d'un système, et l'histoire du système est une courbe à travers cet espace.

Pourquoi les équations de Hamilton sont-elles du premier ordre alors que celles de Lagrange sont du second ordre ?

En traitant les moments comme des variables indépendantes aux côtés des coordonnées, la formulation Hamiltonienne double le nombre de variables mais réduit chaque équation au premier ordre, révélant ainsi la structure symétrique de l'espace des phases.