Calcul des variations
Le calcul des variations recherche des fonctions qui extrémisent des fonctionnelles intégrales, généralisant la maximisation et la minimisation ordinaires des points aux courbes et aux champs.
Definition
Le calcul des variations étudie les fonctionnelles, qui associent des nombres à des fonctions, et recherche les fonctions pour lesquelles une fonctionnelle est stationnaire ou atteint une valeur extrême, sous réserve de conditions aux limites et de conditions auxiliaires.
Scope
Ce domaine d'étude englobe la dérivation des équations d'Euler-Lagrange comme conditions nécessaires pour un extrémal, les problèmes variationnels avec contraintes et frontières libres, les conditions de seconde variation et de convexité pour les minima, la méthode directe établissant l'existence de minimiseurs, et le lien avec la mécanique hamiltonienne et le contrôle optimal.
Sub-topics
Core questions
- Quelles fonctions rendent une fonctionnelle intégrale donnée stationnaire ?
- Quelles conditions nécessaires et suffisantes identifient un minimiseur ?
- Quand un minimiseur existe-t-il réellement ?
- Comment les principes variationnels encodent-ils les lois de la physique ?
Key theories
- Équations d'Euler-Lagrange
- Une fonction qui extrémise une fonctionnelle intégrale doit satisfaire l'équation différentielle d'Euler-Lagrange, l'analogue variationnel de l'annulation d'une dérivée.
- Méthode directe
- L'existence d'un minimiseur est établie en prenant une suite minimisante et en utilisant la compacité et la semi-continuité inférieure, contournant ainsi la solution explicite de l'équation d'Euler-Lagrange.
- Principes variationnels en physique
- Le principe d'action stationnaire de Hamilton reformule la mécanique et la théorie des champs comme des problèmes variationnels, unifiant leurs équations régissant par le calcul des variations.
Clinical relevance
Les méthodes variationnelles expriment des lois fondamentales de la physique à travers les principes de moindre action et d'énergie minimale, et elles sous-tendent le contrôle optimal, la géométrie des surfaces minimales et des géodésiques, le traitement d'images et la méthode des éléments finis en ingénierie.
History
Le sujet a débuté avec le problème de la brachistochrone posé par Johann Bernoulli en 1696. Euler et Lagrange ont développé la théorie générale et l'équation d'Euler-Lagrange au XVIIIe siècle, Hamilton a reformulé la mécanique de manière variationnelle, et la méthode directe de Hilbert au XXe siècle ainsi que son vingt-troisième problème ont revitalisé la théorie de l'existence.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- En quoi le calcul des variations diffère-t-il du calcul différentiel ordinaire ?
- Le calcul différentiel ordinaire trouve les points où une fonction est maximale ou minimale, tandis que le calcul des variations trouve des fonctions entières, telles que des courbes ou des surfaces, qui extrémisent une intégrale. L'inconnue est une fonction plutôt qu'un nombre, et la condition pour un extrémum est une équation différentielle.
- Qu'est-ce que le principe de moindre action ?
- C'est l'énoncé physique selon lequel le mouvement d'un système rend stationnaire une quantité appelée l'action. L'application du calcul des variations à l'action donne les équations du mouvement, de sorte qu'une grande partie de la physique classique et quantique peut être dérivée d'un seul principe variationnel.