تقریب WKB

تقریب WKB یک روش نیمه‌کلاسیک برای حل معادله شرودینگر است، زمانی که پتانسیل به آرامی تغییر می‌کند؛ این روش تابع موج را از یک طول موج تعریف‌شده محلی می‌سازد و شرط کوانتش بور-زومرفلد و تخمین‌های تونل‌زنی نمایی را به دست می‌دهد.

Definition

تقریب WKB یک تکنیک نیمه‌کلاسیک برای تقریب زدن راه‌حل‌های معادله شرودینگر است، زمانی که پتانسیل در طول یک طول موج دوبروی تغییر کمی می‌کند، و تابع موج را به صورت نمایی از یک فاز با تغییر آهسته نمایش می‌دهد که جمله اصلی آن عمل کلاسیک است.

Scope

این موضوع شامل بسط نیمه‌کلاسیک تابع موج بر حسب توان‌های کوانتوم عمل، طول موج و دامنه محلی در نواحی مجاز کلاسیک، رشد و واپاشی نمایی در نواحی ممنوعه، فرمول‌های اتصال که راه‌حل‌ها را در نقاط عطف به هم پیوند می‌دهند، شرط کوانتش بور-زومرفلد برای حالت‌های مقید، و تخمین نمایی WKB برای احتمالات تونل‌زنی است.

Core questions

• چه زمانی پتانسیل به اندازه کافی آهسته تغییر می‌کند تا تقریب WKB معتبر باشد؟
• تابع موج در نواحی مجاز کلاسیک در مقابل نواحی ممنوعه چگونه رفتار می‌کند؟
• کدام فرمول‌های اتصال، راه‌حل‌ها را در نقاط عطف کلاسیک به هم پیوند می‌دهند؟
• چگونه WKB شرط کوانتش بور-زومرفلد و نرخ‌های تونل‌زنی را بازتولید می‌کند؟

Key concepts

• بسط نیمه‌کلاسیک
• طول موج محلی
• نقاط عطف
• فرمول‌های اتصال
• کوانتش بور-زومرفلد
• توان تونل‌زنی

Key theories

تابع موج نیمه‌کلاسیک

در یک پتانسیل با تغییر آهسته، تابع موج با یک طول موج محلی که توسط تکانه کلاسیک تعیین می‌شود و دامنه ای که در جایی که ذره به آرامی حرکت می‌کند افزایش می‌یابد، نوسان می‌کند، در حالی که در نواحی ممنوعه به صورت نمایی رشد یا واپاشی می‌کند، شکلی که زیربنای هر دو کوانتش و تونل‌زنی است.

کوانتش بور-زومرفلد

الزام فاز WKB انباشته شده بین نقاط عطف به اینکه یک مضرب نیمه‌صحیح از کوانتوم عمل باشد، شرط کوانتش قدیمی بور-زومرفلد را بازتولید می‌کند و سطوح انرژی دقیقی را برای پتانسیل‌های هموار و اعداد کوانتومی بزرگ ارائه می‌دهد.

Clinical relevance

روش WKB تخمین‌های سریع و از نظر فیزیکی شفافی را در سراسر فیزیک ارائه می‌دهد: این روش طول عمر واپاشی آلفای هسته‌ای را از طریق توان تونل‌زنی خود، جریان‌های گسیل میدانی و میکروسکوپ تونل‌زنی روبشی، سطوح ارتعاشی مولکول‌ها، و کوانتش نیمه‌کلاسیک که توصیفات کلاسیک و کوانتومی را به هم پیوند می‌دهد، به دست می‌دهد.

History

ونتزل، کرامر و بریلوین هر یک این تقریب را در سال 1926 معرفی کردند، که بر اساس یک رویکرد ریاضی قبلی توسط جفریز بنا شده بود؛ این روش مکانیک موج جدید را به کوانتش قدیمی بور-زومرفلد متصل کرد و به زودی توسط گاموف برای تونل‌زنی در واپاشی آلفا به کار گرفته شد.

Key figures

• Gregor Wentzel
• Hendrik Kramers
• Leon Brillouin
• Harold Jeffreys

Seminal works

• landau1977
• griffiths2018

Frequently asked questions

چه زمانی تقریب WKB دقیق است؟

این تقریب زمانی دقیق است که پتانسیل در طول یک طول موج دوبروی تغییر کمی کند، که معمولاً به معنای انرژی‌های بالا یا اعداد کوانتومی بزرگ است؛ در نزدیکی نقاط عطف کلاسیک غیرقابل اعتماد می‌شود، جایی که باید از فرمول‌های اتصال برای پیوند دادن راه‌حل‌ها به یکدیگر استفاده شود.

WKB چگونه تونل‌زنی را توصیف می‌کند؟

در ناحیه ممنوعه کلاسیک، تابع موج WKB به صورت نمایی واپاشی می‌کند، و احتمال تونل‌زنی تقریباً برابر است با نمای منفی دو برابر انتگرال نرخ واپاشی در سراسر سد، تخمین نیمه‌کلاسیک استانداردی که برای نرخ‌های واپاشی و گسیل استفاده می‌شود.