نظریه تجدید
نظریه تجدید به مطالعه فرآیندهایی میپردازد که در هر رخداد یک رویداد، از نو آغاز میشوند، به طوری که زمانهای بین رویدادهای متوالی مستقل و دارای توزیع یکسان هستند.
Definition
فرآیند تجدید یک فرآیند شمارش است که زمانهای بین ورود (interarrival times) آن متغیرهای تصادفی مثبت، مستقل و دارای توزیع یکسان هستند، و نظریه تجدید به تحلیل تابع تجدید حاصل، رفتار مجانبی آن، و رفتار حدی کمیتهای مرتبط مانند سن و طول عمر باقیمانده میپردازد.
Scope
این موضوع شامل فرآیند تجدید و تابع تجدید، معادله تجدید و راهحل آن، قضیه تجدید مقدماتی که نرخ تجدید بلندمدت را ارائه میدهد، قضیه تجدید کلیدی و قضیه بلکول در مورد افزایشهای مجانبی، پارادوکس بازرسی و توزیع سن و عمر باقیمانده، و فرآیندهای تجدید تأخیری و ایستا میشود.
Core questions
- تابع تجدید چگونه تعریف میشود و از توزیع زمانهای بین ورود محاسبه میگردد؟
- نرخ تجدید بلندمدت چقدر است؟
- قضایای تجدید کلیدی و بلکول به صورت مجانبی چه چیزی را توصیف میکنند؟
- چرا پارادوکس بازرسی باعث میشود یک بازه مشاهده شده معمولی طولانیتر از میانگین باشد؟
Key theories
- قضایای تجدید مقدماتی و کلیدی
- نرخ تجدید بلندمدت برابر با معکوس میانگین زمان بین ورود است، و قضیه تجدید کلیدی مقدار حدی کانولوشن یک تابع با چگالی تجدید را ارائه میدهد که رفتار مجانبی طیف وسیعی از معادلات تجدید را فراهم میکند.
- سن، عمر باقیمانده، و پارادوکس بازرسی
- بازه زمانی که یک زمان مشاهده ثابت را پوشش میدهد، به صورت تصادفی طولانیتر از یک بازه بین ورود معمولی است، زیرا بازههای طولانیتر احتمال بیشتری دارند که نمونهبرداری شوند، و توزیعهای حدی سن و عمر باقیمانده از چگالی تجدید تعادلی پیروی میکنند.
Clinical relevance
نظریه تجدید جایگزینی قطعات در مهندسی قابلیت اطمینان، تکرار رویدادها در تحلیل نگهداری و گارانتی، و هزینه بلندمدت سیستمهای عملیاتی با زمانهای خرابی تصادفی را مدلسازی میکند، و ستون فقرات مجانبی برای مدلهای صف و موجودی را فراهم میآورد.
History
نظریه تجدید از مسائل جایگزینی جمعیت و جایگزینی صنعتی در دهههای ۱۹۳۰ و ۱۹۴۰ میلادی نشأت گرفت. فِلِر و اسمیت معادله تجدید و رفتار مجانبی آن را بنیان نهادند، بلکول قضیه تجدید خود را در سال ۱۹۴۸ اثبات کرد، و تکنگاری کاکس در سال ۱۹۶۲ شرح استاندارد این موضوع را ارائه داد.
Key figures
- William Feller
- David Blackwell
- David Cox
- Walter Smith
Related topics
Seminal works
- coxRenewal1962
Frequently asked questions
- فرآیند تجدید چیست؟
- این فرآیندی است که رویدادهایی را میشمارد که زمانهای بین ورود آنها مستقل و دارای توزیع یکسان هستند؛ فرآیند پواسون حالت خاصی است که این زمانها نمایی باشند.
- پارادوکس بازرسی چیست؟
- اگر یک فرآیند تجدید را در یک زمان ثابت مشاهده کنید، بازهای که آن زمان را در بر میگیرد، تمایل دارد طولانیتر از یک بازه انتخاب شده تصادفی باشد، زیرا بازههای طولانیتر احتمال بیشتری دارند که شما در آنها قرار بگیرید.