فرایندهای تولد-مرگ

فرایند تولد-مرگ یک زنجیره مارکوف زمان پیوسته بر روی اعداد صحیح است که در هر گام یک واحد افزایش یا کاهش می‌یابد، با نرخ‌های تولد و مرگ که به اندازه جمعیت فعلی بستگی دارد.

Definition

فرایند تولد-مرگ یک زنجیره مارکوف زمان پیوسته بر روی اعداد صحیح نامنفی است که تنها گذارهای آن به سمت بالا با یک واحد با نرخ تولد وابسته به حالت و به سمت پایین با یک واحد با نرخ مرگ وابسته به حالت است، بنابراین مسیرهای نمونه آن با گام‌های واحد تغییر می‌کنند.

Scope

این موضوع شامل ساختار نرخ‌های گذار همسایه نزدیک، موارد خاص فرایندهای تولد خالص و مرگ خالص، راه‌حل‌های گذرا و احتمالات انقراض، توزیع حالت پایدار به‌دست‌آمده از تعادل تفصیلی، و کاربردها در جمعیت‌ها و صف‌ها از جمله سیستم‌های M/M/1 و M/M/c می‌شود.

Core questions

• چگونه نرخ‌های تولد و مرگ وابسته به حالت، دینامیک را تعیین می‌کنند؟
• چه زمانی یک فرایند تولد-مرگ دارای توزیع حالت پایدار است و چه شکلی دارد؟
• احتمالات انقراض و انفجار چگونه محاسبه می‌شوند؟
• سیستم‌های صف چگونه به عنوان فرایندهای تولد-مرگ ظاهر می‌شوند؟

Key theories

تعادل تفصیلی و توزیع حالت پایدار

از آنجا که گذارها به حالت‌های همسایه هستند، یک فرایند تولد-مرگ برگشت‌پذیر است و توزیع حالت پایدار آن به صراحت از معادلات تعادل تفصیلی به عنوان حاصل‌ضرب نسبت‌های متوالی نرخ تولد به مرگ به دست می‌آید.

تحلیل انقراض و جذب

استدلال‌های گام اول و تابع مولد، احتمالات انقراض و زمان‌های مورد انتظار برای جذب را زمانی که صفر یک حالت جاذب است، ارائه می‌دهند و مشخص می‌کنند که آیا یک جمعیت از بین می‌رود و با چه سرعتی.

Clinical relevance

فرایندهای تولد-مرگ مدل‌سازی جمعیت‌های بیولوژیکی، گسترش و پاکسازی عفونت‌ها، تعداد مشتریان در یک صف، و اشغال کانال‌های ارتباطی را انجام می‌دهند؛ صف M/M/1، یک فرایند تولد-مرگ با نرخ‌های ورود و سرویس ثابت، نمونه کانونی است که این موضوع را به نظریه صف پیوند می‌دهد.

History

فرایند تولد خالص توسط یول در سال 1925 برای مدل‌سازی رشد سرده‌های بیولوژیکی معرفی شد، فلر فرایندهای تولد-مرگ عمومی را در دهه‌های 1930 و 1940 تحلیل کرد، و این چارچوب از طریق کار ارلنگ و جانشینان او بر روی ترافیک تلفن، به نظریه صف تبدیل شد.

Key figures

• William Feller
• George Udny Yule
• Alfred Lotka

Seminal works

• karlinTaylor1975

Frequently asked questions

چه چیزی یک فرایند را به فرایند تولد-مرگ تبدیل می‌کند؟

این یک زنجیره مارکوف زمان پیوسته بر روی اعداد صحیح است که گذارهای آن فقط به نزدیک‌ترین همسایگان حرکت می‌کنند و شمارش را بر اساس نرخ‌های تولد و مرگ یک واحد افزایش یا کاهش می‌دهند.

چرا فرایندهای تولد-مرگ همیشه برگشت‌پذیر هستند؟

از آنجا که فضای حالت خطی است و گذارها فقط بین حالت‌های مجاور هستند، جریان بین هر دو همسایه در تعادل متوازن می‌شود، بنابراین معادلات تعادل تفصیلی برقرار هستند و توزیع حالت پایدار را مستقیماً ارائه می‌دهند.