مختصات تعمیمیافته و قیود
مختصات تعمیمیافته هر متغیر مستقل است که پیکربندی یک سیستم را مشخص میکند و برای جذب قیود و کاهش تعداد درجات آزادی که باید ردیابی شوند، انتخاب میشود.
Definition
مختصات تعمیمیافته مجموعهای حداقلی از پارامترهای مستقل هستند که پیکربندی یک سیستم مکانیکی را مطابق با قیود آن به طور منحصر به فرد مشخص میکنند و توصیف آن را به تعداد واقعی درجات آزادیاش کاهش میدهند.
Scope
این موضوع انتخاب مختصات تعمیمیافته، مفهوم فضای پیکربندی و درجات آزادی، و طبقهبندی قیود به عنوان هولونومیک یا غیرهولونومیک، اسکلرونومیک یا رئونومیک را پوشش میدهد. همچنین به چگونگی حذف قیود هولونومیک با انتخاب مختصات مناسب و چگونگی برخورد اصل کار مجازی و اصل دالامبر با نیروهای قید میپردازد.
Core questions
- چگونه انتخاب مختصات تعمیمیافته تعداد متغیرها را در یک مسئله کاهش میدهد؟
- چه چیزی قیود هولونومیک را از غیرهولونومیک متمایز میکند؟
- چگونه اصل دالامبر و کار مجازی نیروهای قید ناشناخته را حذف میکنند؟
Key concepts
- مختصات تعمیمیافته
- درجات آزادی
- فضای پیکربندی
- قیود هولونومیک در مقابل غیرهولونومیک
- جابجایی مجازی و کار مجازی
- نیروهای قید
Key theories
- قیود هولونومیک و درجات آزادی
- قیود هولونومیک به صورت معادلات بین مختصات و زمان قابل بیان هستند؛ هر یک از آنها درجات آزادی را به یک کاهش میدهد و میتواند با انتخاب مختصات تعمیمیافته مناسب جذب شود.
- اصل دالامبر و کار مجازی
- با اجازه دادن تنها به جابجاییهای مجازی سازگار با قیود، نیروهای قید که کار مجازی انجام نمیدهند، حذف میشوند و معادلات حرکت تنها بر حسب نیروهای اعمالی باقی میمانند.
Clinical relevance
انتخاب مختصات تعمیمیافته که به قیود احترام میگذارد، باعث میشود دینامیک مکانیزمهای پیوندی، بازوهای رباتیک، قطارهای دنده و مکانیزمهای مفصلی قابل حل شوند، و تمایز هولونومیک/غیرهولونومیک برای کنترل سیستمهای غلتشی و چرخدار تعیینکننده است.
History
اصل دالامبر در سال ۱۷۴۳ با ترکیب نیروهای اینرسی و اعمالی، دینامیک را به مسئلهای از استاتیک تقلیل داد، و لاگرانژ بر اساس آن روش مختصات تعمیمیافته را توسعه داد که نیروهای قید را حذف میکند. طبقهبندی سیستماتیک قیود، از جمله اصطلاح غیرهولونومیک، در اواخر قرن نوزدهم توسط هرتز و دیگران دقیقتر شد.
Key figures
- Jean le Rond d'Alembert
- Joseph-Louis Lagrange
- Heinrich Hertz
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- lanczos1970
Frequently asked questions
- چه چیزی یک قید را غیرهولونومیک میکند؟
- یک قید غیرهولونومیک نمیتواند به عنوان یک رابطه جبری تنها بین مختصات نوشته شود؛ معمولاً شامل سرعتها به روشی غیرقابل انتگرالگیری است، مانند چرخشی بدون لغزش، و نمیتوان آن را با تغییر مختصات حذف کرد.
- چرا حذف نیروهای قید راحت است؟
- نیروهای قید معمولاً ناشناخته و بیاهمیت هستند، مانند نیروی عمودی از یک مسیر. از آنجا که آنها تحت جابجاییهای مجازی سازگار با قیود کاری انجام نمیدهند، روش لاگرانژ آنها را به طور خودکار از معادلات حرکت حذف میکند.