معادلات اویلر-لاگرانژ

معادلات اویلر-لاگرانژ، معادلات دیفرانسیل حرکت هستند که از شرط ایستا بودن کنش (action) به دست می‌آیند، به طوری که برای هر مختصه تعمیم‌یافته یک معادله وجود دارد.

Definition

معادلات اویلر-لاگرانژ مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم هستند که با صفر قرار دادن تغییرات کنش به دست می‌آیند و تکامل زمانی هر مختصه تعمیم‌یافته یک سیستم مکانیکی را کنترل می‌کنند.

Scope

این مبحث به استخراج معادلات اویلر-لاگرانژ از اصل همیلتون، شکل آن‌ها برای سیستم‌های مختصات تعمیم‌یافته، تعریف تکانه‌های تعمیم‌یافته (کانونی)، بررسی مختصات چرخشی که منجر به تکانه‌های پایسته می‌شوند، و تعمیم آن‌ها به سیستم‌های دارای قید از طریق ضرایب لاگرانژ می‌پردازد. این معادلات، خروجی محاسباتی اصلی مکانیک لاگرانژی هستند.

Core questions

• چگونه معادلات اویلر-لاگرانژ از شرط کنش ایستا به دست می‌آیند؟
• تکانه تعمیم‌یافته چیست و چه زمانی پایسته است؟
• چگونه قیدها از طریق ضرایب لاگرانژ گنجانده می‌شوند؟

Key concepts

• مختصات و سرعت‌های تعمیم‌یافته
• تکانه تعمیم‌یافته (کانونی)
• مختصات چرخشی (قابل چشم‌پوشی)
• ضرایب لاگرانژ برای قیدها
• هم‌ارزی با قانون دوم نیوتن

Key theories

معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ

شرط کنش ایستا، برای هر مختصه تعمیم‌یافته، معادله‌ای را به دست می‌دهد که مشتق زمانی تکانه تعمیم‌یافته را با نیروی تعمیم‌یافته مشتق شده از لاگرانژی برابر می‌کند.

مختصات چرخشی و تکانه‌های پایسته

هنگامی که لاگرانژی به یک مختصه خاص وابسته نباشد، تکانه تعمیم‌یافته متناظر پایسته است و مسیری مستقیم برای ثابت‌های حرکت فراهم می‌کند.

Clinical relevance

از آنجا که معادلات اویلر-لاگرانژ معادلات حرکت را مستقیماً از انرژی‌ها در هر مختصات مناسبی تولید می‌کنند، ابزار استاندارد استخراج در رباتیک، دینامیک چندجسمی هوافضا، و مهندسی کنترل هستند، جایی که تعادل نیروهای کارتزین دست و پا گیر خواهد بود.

History

اویلر معادله اصلی حساب تغییرات را در دهه ۱۷۴۰ استخراج کرد و لاگرانژ آن را تعمیم داد و به طور سیستماتیک در مکانیک در کتاب خود «مکانیک تحلیلی» (Mécanique analytique) در سال ۱۷۸۸ به کار برد و نام مشترک این معادلات را به آن‌ها داد. تفسیر مجدد آن‌ها از طریق اصل همیلتون در قرن نوزدهم، منشأ تغییراتی آن‌ها را روشن‌تر کرد.

Key figures

• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• goldstein2002
• arnold1989

Frequently asked questions

آیا معادلات اویلر-لاگرانژ معادل قوانین نیوتن هستند؟

بله، برای سیستم‌هایی که هر دو توصیف می‌کنند. در مختصات کارتزین با لاگرانژی T − V، آن‌ها دقیقاً قانون دوم نیوتن را بازتولید می‌کنند، اما در هر مختصات تعمیم‌یافته‌ای معتبر هستند و قیدها را به شکلی تمیزتر مدیریت می‌کنند.

تکانه تعمیم‌یافته چیست؟

این مشتق لاگرانژی نسبت به یک سرعت تعمیم‌یافته است؛ برای مختصات کارتزین معمولی به تکانه خطی معمول کاهش می‌یابد، اما برای یک مختصه زاویه‌ای، تکانه زاویه‌ای است.