مکانیک هامیلتونی
مکانیک هامیلتونی دینامیک را در فضای فاز بازنویسی میکند و معادلات مرتبه دوم لاگرانژی را با معادلات مرتبه اول برای مختصات و تکانههای مزدوج آنها که توسط هامیلتونین اداره میشوند، جایگزین میکند.
Definition
مکانیک هامیلتونی فرمولبندی مکانیک کلاسیک است که در آن حالت یک سیستم نقطهای در فضای فاز مختصات و تکانههای مزدوج است که توسط معادلات کانونیک مرتبه اول هامیلتون که توسط تابع هامیلتونین تولید میشوند، تکامل مییابد.
Scope
این حوزه تبدیل لژاندر از لاگرانژی به هامیلتونین، معادلات کانونیک هامیلتون، هندسه فضای فاز، تبدیلهای کانونیک که شکل معادلات را حفظ میکنند، نظریه هامیلتون-ژاکوبی، براکتهای پواسون و انتگرالپذیری را پوشش میدهد. این فرمولبندی زبان طبیعی را برای مکانیک آماری، نظریه اغتشاش و گذار به مکانیک کوانتومی فراهم میکند.
Sub-topics
Core questions
- فرمولبندی هامیلتونی از نظر متغیرها و ساختار چه تفاوتی با فرمولبندی لاگرانژی دارد؟
- فضای فاز چیست و چرا هندسه آن برای دینامیک محوری است؟
- کدام تبدیلها شکل کانونیک معادلات حرکت را حفظ میکنند؟
Key concepts
- تابع هامیلتونین
- تکانههای مزدوج
- فضای فاز
- تبدیل لژاندر
- تبدیل کانونیک
- براکت پواسون
- قضیه لیوویل
Key theories
- معادلات کانونیک هامیلتون
- دینامیک به صورت دو مجموعه از معادلات مرتبه اول بیان میشود که مشتقات زمانی مختصات و تکانهها را به عنوان مشتقات جزئی هامیلتونین، متقارن در موقعیت و تکانه، ارائه میدهند.
- ساختار کانونیک و قضیه لیوویل
- جریان فضای فاز تولید شده توسط هامیلتونین، حجم فضای فاز (قضیه لیوویل) و ساختار سیمپلکتیک کانونیک را حفظ میکند که زیربنای مکانیک آماری است.
Clinical relevance
چارچوب هامیلتونی دروازهای به مکانیک آماری از طریق آنسامبلهای فضای فاز، به نظریه اغتشاش مکانیک سماوی، به مطالعه آشوب و سیستمهای انتگرالپذیر، و به مکانیک کوانتومی است، جایی که ساختار کانونیک به روابط جابجایی عملگر تبدیل میشود.
History
هامیلتون معادلات کانونیک خود را در دهه ۱۸۳۰ توسعه داد و دینامیک لاگرانژی را بر حسب موقعیت و تکانه به طور مساوی بازنویسی کرد. ژاکوبی این نظریه را با معادله هامیلتون-ژاکوبی و تبدیلهای کانونیک گسترش داد، و پواسون و لیوویل جبر براکت و قضیه بقای حجم را ارائه کردند و پایه ساختاری را بنا نهادند که بعدها توسط مکانیک آماری و کوانتومی به ارث برده شد.
Key figures
- William Rowan Hamilton
- Carl Gustav Jacob Jacobi
- Siméon Denis Poisson
- Joseph Liouville
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- arnold1989
- landau1976
Frequently asked questions
- هامیلتونین چگونه با انرژی مرتبط است؟
- برای بسیاری از سیستمها، هامیلتونین برابر با انرژی کل است که بر حسب مختصات و تکانهها بیان میشود، اما این شناسایی مستلزم آن است که قیدها مستقل از زمان و پتانسیل مستقل از سرعت باشند؛ در غیر این صورت هامیلتونین و انرژی میتوانند متفاوت باشند.
- چرا معادلات مرتبه اول را به معادلات مرتبه دوم لاگرانژی ترجیح میدهیم؟
- دو برابر کردن متغیرها برای شامل شدن تکانهها و استفاده از معادلات مرتبه اول، هندسه متقارن فضای فاز را آشکار میکند، که تبدیلهای کانونیک، استدلالهای بقا، و ارتباط با مکانیک آماری و کوانتومی را بسیار شفافتر میسازد.