سیستمهای همیلتونی (تغییراتی)
فرمولبندی همیلتونی مسائل تغییراتی را از طریق تبدیل لژاندر به یک سیستم کانونیکال مرتبه اول بازنویسی میکند و مقادیر پایسته و یک ساختار سیمپلکتیک غنی را آشکار میسازد.
Definition
با داشتن یک مسئله تغییراتی با لاگرانژی، همیلتونی تبدیل لژاندر آن در متغیر سرعت است؛ سپس معادله اویلر-لاگرانژ به جفت معادلات کانونیکال مرتبه اول همیلتون برای موقعیت و تکانه تبدیل میشود.
Scope
این موضوع شامل تبدیل لژاندر از لاگرانژی به همیلتونی، معادلات کانونیکال همیلتون، قوانین پایستگی و ارتباط با قضیه نوتر، معادله همیلتون-ژاکوبی و تبدیلهای کانونیکال، و هندسه سیمپلکتیک فضای فاز است که زیربنای این نظریه را تشکیل میدهد.
Core questions
- چگونه تبدیل لژاندر یک مسئله لاگرانژی را به یک مسئله همیلتونی تبدیل میکند؟
- معادلات کانونیکال مرتبه اول چه مزایایی ارائه میدهند؟
- چگونه تقارنها و قوانین پایستگی در این فرمولبندی ظاهر میشوند؟
- نقش معادله همیلتون-ژاکوبی چیست؟
Key theories
- معادلات کانونیکال همیلتون
- تبدیل لژاندر، معادله مرتبه دوم اویلر-لاگرانژ را به یک سیستم مرتبه اول متقارن برای موقعیت و تکانه تبدیل میکند، که همیلتونی تکامل را تولید میکند.
- معادله همیلتون-ژاکوبی
- حل یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول برای یک تابع مولد، یک تبدیل کانونیکال را به دست میدهد که دینامیک را ساده میکند و مکانیک تغییراتی را به نظریه موج و کنترل بهینه مرتبط میسازد.
- ساختار سیمپلکتیک و پایستگی
- جریان همیلتونی یک فرم سیمپلکتیک را در فضای فاز حفظ میکند، و قضیه نوتر هر تقارن پیوسته را با یک کمیت پایسته مرتبط میسازد و انتگرالهای حرکت را سازماندهی میکند.
Clinical relevance
فرمولبندی همیلتونی پلی از مکانیک کلاسیک به مکانیک کوانتومی و مکانیک آماری است، بستر طبیعی برای مکانیک سماوی و سیستمهای انتگرالپذیر، و منبع معادله همیلتون-ژاکوبی-بلمن در کنترل بهینه.
History
همیلتون در دهه ۱۸۳۰ مکانیک را از طریق تابع اصلی و معادلات کانونیکال خود بازنویسی کرد، و ژاکوبی معادله دیفرانسیل جزئی مرتبط و نظریه تبدیلهای کانونیکال را توسعه داد. پوانکاره و بعدها آرنولد هندسه سیمپلکتیک عمیق و پیامدهای آن را برای انتگرالپذیری و پایداری آشکار ساختند.
Key figures
- William Rowan Hamilton
- Carl Gustav Jacob Jacobi
- Henri Poincare
- Vladimir Arnold
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- arnold1989
Frequently asked questions
- چرا یک مسئله لاگرانژی را به صورت همیلتونی بازنویسی میکنیم؟
- فرم همیلتونی یک معادله مرتبه دوم را با دو معادله مرتبه اول در موقعیت و تکانه جایگزین میکند و با آنها به صورت متقارن رفتار میکند. این کار کمیتهای پایسته و ساختار سیمپلکتیک فضای فاز را آشکار میسازد و زبان طبیعی برای تبدیلهای کانونیکال و مکانیک کوانتومی را فراهم میکند.
- معادله همیلتون-ژاکوبی برای چه کاری استفاده میشود؟
- این یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه اول است که حل آن یک تبدیل را تولید میکند که دینامیک را برای انتگرالگیری ساده میکند. این معادله مکانیک را به اپتیک هندسی مرتبط میسازد و در کنترل بهینه به عنوان معادله همیلتون-ژاکوبی-بلمن برای تابع ارزش دوباره ظاهر میشود.