معادلات همیلتون و فضای فاز
معادلات همیلتون یک جفت معادله مرتبه اول هستند که تکامل زمانی مختصات و تکانههای مزدوج را به عنوان مشتقات هامیلتونین توصیف میکنند و حرکت را به صورت یک جریان در فضای فاز بیان میکنند.
Definition
معادلات همیلتون دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول هستند که یکی نرخ تغییر هر مختصات و دیگری نرخ تغییر هر تکانه مزدوج را به عنوان مشتقات جزئی هامیلتونین بیان میکند و مسیر یک سیستم را در فضای فاز تعیین میکنند.
Scope
این مبحث شامل تبدیل لژاندر که هامیلتونین را از لاگرانژین تعریف میکند، معادلات کانونیک حاصل برای هر جفت مختصات-تکانه، ساختار فضای فاز و مسیرها در آن، و قضیه لیوویل در مورد بقای حجم فضای فاز تحت جریان هامیلتونی است.
Core questions
- هامیلتونین چگونه از لاگرانژین توسط تبدیل لژاندر ساخته میشود؟
- یک مسیر در فضای فاز چه چیزی را نشان میدهد و چگونه تکامل مییابد؟
- چرا حجم فضای فاز تحت جریان هامیلتونی پایسته است؟
Key concepts
- تبدیل لژاندر
- تکانه مزدوج
- فضای فاز و مسیر فاز
- معادلات کانونیک
- قضیه لیوویل
- سطح انرژی
Key theories
- معادلات کانونیک همیلتون
- حرکت توسط معادلات مرتبه اولی کنترل میشود که در آن نرخ تغییر هر مختصات برابر با مشتق تکانه هامیلتونین و نرخ تغییر هر تکانه برابر با منفی مشتق مختصات است.
- قضیه لیوویل
- جریان تولید شده توسط یک هامیلتونین، حجم را در فضای فاز حفظ میکند، بنابراین یک ناحیه از شرایط اولیه بدون تغییر اندازه فضای فاز خود تکامل مییابد، که سنگ بنای مکانیک آماری است.
Clinical relevance
تصویر فضای فاز و قضیه لیوویل اساس مکانیک آماری و روشهای آنسامبل، دینامیک پرتو شتابدهنده که در آن مساحت فضای فاز یک گسیلندگی (emittance) پایسته است، و انتگرالگیرهای سیمپلکتیک عددی مورد استفاده در شبیهسازیهای مداری و مولکولی بلندمدت هستند.
History
همیلتون معادلات کانونیک را در مقالات خود در سالهای ۱۸۳۴-۱۸۳۵ در مورد یک روش کلی در دینامیک معرفی کرد و توصیف لاگرانژی مرتبه دوم را به یک توصیف متقارن مرتبه اول تبدیل کرد. قضیه لیوویل در سال ۱۸۳۸ در مورد بقای حجم و استفاده بعدی گیبس از فضای فاز برای آنسامبلهای آماری، دیدگاه فضای فاز را به عنوان یک مفهوم محوری در فیزیک تثبیت کرد.
Key figures
- William Rowan Hamilton
- Joseph Liouville
- Josiah Willard Gibbs
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- arnold1989
Frequently asked questions
- فضای فاز چیست؟
- فضای فاز فضایی است که مختصات آن تمام موقعیتهای تعمیمیافته و تکانههای مزدوج آنها هستند؛ یک نقطه واحد به طور کامل حالت لحظهای یک سیستم را مشخص میکند و تاریخچه سیستم یک منحنی در این فضا است.
- چرا معادلات همیلتون مرتبه اول هستند در حالی که معادلات لاگرانژ مرتبه دوم هستند؟
- با در نظر گرفتن تکانهها به عنوان متغیرهای مستقل در کنار مختصات، فرمولبندی هامیلتون تعداد متغیرها را دو برابر میکند اما هر معادله را به مرتبه اول کاهش میدهد و ساختار متقارن فضای فاز را آشکار میسازد.