اصل کمترین کنش
اصل کمترین کنش بیان میکند که مسیر فیزیکی که یک سیستم بین دو پیکربندی طی میکند، مسیری است که انتگرال کنش برای آن ساکن (ایستا) است.
Definition
اصل کمترین کنش این ادعا است که یک سیستم مکانیکی در امتداد مسیری تکامل مییابد که کنش، یعنی انتگرال لاگرانژی در طول زمان، تحت تغییرات کوچک مسیر با ثابت نگه داشتن نقاط پایانی، ساکن (ایستا) باشد.
Scope
این موضوع شامل تابعک کنش به عنوان انتگرال زمانی لاگرانژی، اصل کنش ساکن همیلتون، حساب تغییرات مورد استفاده برای استخراج مسیرهای فیزیکی، و تمایز بین اصل قدیمیتر موپرتوئی (کنش کوتاه شده) و اصل همیلتون میشود. این موضوع توضیح میدهد که چرا یک گزاره تغییراتی واحد میتواند تمام مکانیک را در بر گیرد.
Core questions
- کنش چیست و ساکن بودن آن به چه معناست؟
- اصل همیلتون چه تفاوتی با اصل قدیمیتر کمترین کنش موپرتوئی دارد؟
- چرا یک اصل تغییراتی واحد میتواند تمام دینامیک نیوتنی را بازتولید کند؟
Key concepts
- تابعک کنش
- حساب تغییرات
- مسیر ساکن (اکسترمال)
- شرایط نقطه پایانی (مرزی)
- کنش کوتاه شده
Key theories
- اصل همیلتون
- در میان تمام مسیرها با نقاط پایانی ثابت در فضای پیکربندی، حرکت فیزیکی مسیری است که انتگرال کنش آن دارای تغییر اول صفر باشد و کنش را ساکن کند.
- اصل کنش کوتاه شده موپرتوئی
- یک فرم تغییراتی قدیمیتر، انرژی را ثابت نگه میدارد و کنش کوتاه شده را در طول مسیر در فضای پیکربندی ساکن میکند که تحت شرایط مناسب معادل اصل همیلتون است.
Clinical relevance
اصل کنش، پل مفهومی از فیزیک کلاسیک به فیزیک مدرن است: این اصل به نظریه میدان نسبیتی تعمیم مییابد و مبنای فرمولبندی انتگرال مسیر فاینمن در مکانیک کوانتومی را فراهم میکند، جایی که هر مسیر با وزن کنش مشارکت میکند.
History
موپرتوئی در دهه ۱۷۴۰ اصلی را برای کمترین کنش بر مبنای متافیزیکی پیشنهاد کرد که اویلر و لاگرانژ آن را از طریق حساب تغییرات بر پایه ریاضی محکمی قرار دادند. همیلتون در دهه ۱۸۳۰ آن را به اصل مدرن کنش ساکن در طول زمان بازنویسی کرد که به نقطه شروع یکپارچه برای مکانیک لاگرانژی و همیلتونی تبدیل شد.
Key figures
- Pierre Louis Maupertuis
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
Related topics
Seminal works
- lanczos1970
- goldstein2002
Frequently asked questions
- آیا کنش واقعاً به حداقل میرسد؟
- اغلب، اما نه همیشه. شرط تعریفکننده این است که کنش ساکن باشد، به این معنی که تغییر اول آن ناپدید میشود؛ برای مسیرهای به اندازه کافی طولانی، نقطه ساکن میتواند یک نقطه زینی باشد نه یک حداقل.
- این اصل چگونه با مکانیک کوانتومی مرتبط است؟
- در انتگرال مسیر فاینمن، یک دامنه کوانتومی مجموع مشارکتهای همه مسیرها را با وزن نمایی کنش جمع میکند؛ مسیر کلاسیک کمترین کنش در جایی ظاهر میشود که مشارکتهای نزدیک به طور سازنده با هم جمع شوند.