Distribuciones Binomial y de Poisson

Las distribuciones binomial y de Poisson son las dos distribuciones discretas más utilizadas en bioestadística. La binomial describe el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes de sí/no, mientras que la de Poisson describe el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio cuando los eventos suceden a una tasa promedio constante. Ambas modelan recuentos, los cuales son omnipresentes en los datos de salud.

Definition

La distribución binomial proporciona la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un número fijo n de ensayos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito p; la distribución de Poisson proporciona la probabilidad de un número determinado de eventos en un intervalo fijo cuando los eventos ocurren de forma independiente a una tasa media constante.

Scope

Esta entrada cubre los supuestos, parámetros, media y varianza de las distribuciones binomial y de Poisson, los contextos que cada una describe, la relación entre ellas y sus aproximaciones normales. Ilustra su uso para proporciones y tasas de eventos en la investigación en salud. Es una referencia metodológica y no una guía clínica.

Core questions

• ¿Qué supuestos definen una situación binomial frente a una situación de Poisson?
• ¿Cómo se determinan la media y la varianza de cada distribución?
• ¿Cuándo la distribución de Poisson se aproxima a la binomial?
• ¿Cuándo puede cada una ser aproximada por la distribución normal?

Key concepts

• Ensayo de Bernoulli
• Número de ensayos n y probabilidad de éxito p
• Media y varianza binomiales
• Parámetro de tasa de Poisson
• Igualdad de la media y la varianza de Poisson
• Aproximación de Poisson a la binomial
• Aproximación normal
• Recuentos, proporciones y tasas de eventos

Mechanisms

Una distribución binomial surge de un número fijo n de ensayos independientes, cada uno de ellos un ensayo de Bernoulli con la misma probabilidad p de éxito; el recuento de éxitos tiene una media de np y una varianza de np(1-p). La distribución de Poisson surge como el límite de la binomial cuando n es grande y p es pequeña, mientras que su producto (el recuento esperado) se mantiene moderado, por lo que modela eventos raros en muchas oportunidades; tiene un único parámetro igual tanto a su media como a su varianza, lo que refleja eventos que ocurren a una tasa constante. Cuando n es grande, o cuando la media de Poisson es grande, ambas distribuciones pueden ser aproximadas por una distribución normal, razón por la cual los métodos para proporciones y tasas a menudo toman prestados intervalos de confianza y pruebas basados en la distribución normal. En la investigación en salud, la binomial subyace al análisis de proporciones, como el número de pacientes que responden a un tratamiento, mientras que la de Poisson subyace a los recuentos y las tasas de incidencia, como el número de casos nuevos en una población durante un período.

Clinical relevance

Los modelos binomial y de Poisson sustentan el análisis de proporciones y tasas de eventos reportados en toda la literatura de salud, por lo que reconocer cuál aplica ayuda a la lectura crítica de los resultados sobre las tasas de respuesta y la incidencia de enfermedades. Esta entrada es metodológica y no dirige la atención individual.

Epidemiology

La distribución de Poisson es el modelo natural para los recuentos de eventos relativamente raros que se acumulan a lo largo del tiempo-persona, por lo que es fundamental para el análisis de las tasas de incidencia en epidemiología; la binomial subyace al análisis de riesgos y proporciones, como la incidencia acumulada en un grupo cerrado.

History

La distribución binomial fue estudiada por Jacob Bernoulli en su análisis de ensayos repetidos publicado en 1713, y de Moivre derivó más tarde su aproximación normal. Siméon Denis Poisson introdujo la distribución que lleva su nombre en 1837 como un límite de la binomial para eventos raros. Ambas se convirtieron en herramientas estándar para modelar recuentos cuando la estadística se aplicó a la medicina y la salud pública.

Key figures

• Jacob Bernoulli
• Siméon Denis Poisson
• Abraham de Moivre

Seminal works

• rosner-2015
• armitage-2002
• ross-2014

Frequently asked questions

¿Cómo sé si debo usar un modelo binomial o de Poisson?

Utilice la binomial cuando haya un número fijo de ensayos independientes de sí/no y cuente los éxitos; utilice la de Poisson cuando cuente eventos que ocurren en un intervalo continuo de tiempo o espacio a una tasa aproximadamente constante, sin un número fijo de ensayos.

¿Por qué la media de la distribución de Poisson es igual a su varianza?

Se deriva de la estructura de la distribución como un límite de la binomial para eventos raros; esta igualdad es también una verificación práctica, ya que los datos de recuento cuya varianza excede en gran medida su media (sobredispersión) pueden no ajustarse a un modelo de Poisson simple.