Distribuciones muestrales y teorema del límite central

Una distribución muestral es la distribución de probabilidad de un estadístico, como una media muestral, en todas las muestras posibles de un tamaño dado. El teorema del límite central establece que, para muestras lo suficientemente grandes, la distribución muestral de la media es aproximadamente normal, independientemente de la forma de los datos subyacentes. Juntos explican por qué los intervalos de confianza y las pruebas basados en la normalidad funcionan tan ampliamente.

Definition

Una distribución muestral es la distribución de valores que tomaría un estadístico en todas las muestras posibles de un tamaño fijo de una población; el teorema del límite central establece que la distribución muestral de la media muestral se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, cualquiera que sea la forma de la población.

Scope

La entrada cubre el concepto de distribución muestral, el error estándar como su dispersión, el teorema del límite central y el papel del tamaño de la muestra, y la distinción entre la desviación estándar de los individuos y el error estándar de un estadístico. Vincula estas ideas con los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis. Es una referencia metodológica y no una guía clínica.

Core questions

• ¿Qué es la distribución muestral de un estadístico y por qué es importante?
• ¿En qué se diferencia el error estándar de la desviación estándar?
• ¿Qué garantiza el teorema del límite central y bajo qué condiciones?
• ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra a la precisión de una estimación?

Key concepts

• Estadístico versus parámetro
• Distribución muestral
• Error estándar
• Error estándar versus desviación estándar
• Tamaño de la muestra y precisión
• Normalidad aproximada de la media
• Base de los intervalos de confianza y las pruebas

Key theories

Teorema del límite central

Para observaciones independientes de una población con varianza finita, la distribución de la media muestral tiende a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la forma de la población; esto justifica la inferencia basada en la normalidad para las medias incluso cuando las mediciones individuales no son normales.

Mechanisms

Si se tomaran muestras repetidas del mismo tamaño de una población, un estadístico como la media variaría de una muestra a otra; la distribución de esos valores es la distribución muestral, y su desviación estándar es el error estándar. Para una media muestral, el error estándar es igual a la desviación estándar de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, por lo que la precisión mejora a medida que las muestras crecen, pero solo con la raíz cuadrada de n. El teorema del límite central añade que, para muestras suficientemente grandes, esta distribución muestral es aproximadamente normal incluso cuando los datos en sí mismos están sesgados, siempre que las observaciones sean independientes y la varianza sea finita. Este es el motor de la inferencia clásica: un intervalo de confianza para una media se construye dando un número de errores estándar a partir de la estimación bajo normalidad aproximada, y muchas pruebas de hipótesis comparan una estimación con su distribución muestral. El error estándar, que disminuye con el tamaño de la muestra, debe distinguirse de la desviación estándar de las observaciones individuales, que estima la dispersión de la población y no disminuye.

Clinical relevance

Los intervalos de confianza y los valores p informados en estudios clínicos y de salud pública se basan en la distribución muestral de la estimación y el teorema del límite central, por lo que comprenderlos ayuda a juzgar la precisión de los efectos informados. Esta entrada es un antecedente metodológico y no una base para decisiones clínicas individuales.

History

Las primeras formas del teorema del límite central aparecieron en la aproximación normal de de Moivre a la binomial y en el trabajo de Laplace alrededor de 1810, y Lyapunov y otros establecieron condiciones generales rigurosas alrededor de 1900. El punto de vista de la distribución muestral se volvió central para la inferencia a principios del siglo XX y sigue siendo la justificación estándar para los intervalos de confianza y las pruebas basados en la normalidad en bioestadística.

Debates

¿Qué tan grande debe ser una muestra para que se aplique el teorema del límite central?

La aproximación mejora con el tamaño de la muestra, pero qué tan grande es lo suficientemente grande depende de cuán sesgados estén los datos; para distribuciones marcadamente sesgadas se necesitan muestras mucho más grandes antes de que la distribución de la media sea aceptablemente normal, por lo que ninguna regla general se ajusta a todos los casos.

Key figures

• Pierre-Simon Laplace
• Abraham de Moivre
• Aleksandr Lyapunov

Seminal works

• altman-bland-2005-se
• rosner-2015

Frequently asked questions

¿Cuál es la diferencia entre una desviación estándar y un error estándar?

Una desviación estándar mide la dispersión de las observaciones individuales, mientras que un error estándar mide la dispersión de un estadístico, como una media muestral, entre las muestras; el error estándar disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra, mientras que la desviación estándar estima una cantidad poblacional fija.

¿Por qué podemos usar la distribución normal para una media incluso cuando los datos están sesgados?

El teorema del límite central establece que la distribución muestral de la media se vuelve aproximadamente normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la forma de los datos, por lo que los métodos basados en la normalidad para la media suelen ser válidos con muestras lo suficientemente grandes, incluso cuando los valores individuales no están distribuidos normalmente.