Wishart-Verteilung
Die Wishart-Verteilung ist die multivariate Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung, die das Stichprobenverhalten von Kovarianzmatrizen aus multivariaten Normaldaten beschreibt.
Definition
Die Wishart-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Matrix von Summen von Quadraten und Kreuzprodukten, die aus einer Stichprobe unabhängiger multivariater Normalvektoren mit Mittelwert Null gebildet wird, parametrisiert durch eine Skalenmatrix und Freiheitsgrade.
Scope
Dieses Thema behandelt die Definition der Wishart-Verteilung als Verteilung einer Summe von äußeren Produkten unabhängiger normalverteilter Vektoren, ihre Freiheitsgrade und Skalenmatrix, ihre Rolle als Stichprobenverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix, die inverse Wishart-Verteilung als konjugierte A-priori-Verteilung für Kovarianz und ihre Verwendung bei der Ableitung multivariater Teststatistiken.
Core questions
- Was ist die Stichprobenverteilung einer Stichprobenkovarianzmatrix?
- Wie parametrisieren die Skalenmatrix und die Freiheitsgrade die Wishart-Verteilung?
- Wie verallgemeinert die Wishart-Verteilung die Chi-Quadrat-Verteilung?
- Woher stammt die inverse Wishart-Verteilung?
Key theories
- Stichprobenverteilung der Kovarianz
- Für eine Stichprobe aus einer multivariaten Normalpopulation folgt die Matrix der Summen von Quadraten und Kreuzprodukten einer Wishart-Verteilung, was das Ergebnis verallgemeinert, dass die skalierte Stichprobenvarianz aus Normaldaten Chi-Quadrat-verteilt ist.
- Konjugiertheit der inversen Wishart-Verteilung
- Die inverse Wishart-Verteilung ist die konjugierte A-priori-Verteilung für die Kovarianzmatrix einer multivariaten Normalverteilung, was sie zu einem zentralen Element der Bayes'schen multivariaten Analyse macht.
Clinical relevance
Die Wishart-Verteilung liegt den Nullverteilungen klassischer multivariater Teststatistiken zugrunde und liefert die konjugierte A-priori-Verteilung, die bei der Bayes'schen Schätzung von Kovarianzmatrizen verwendet wird.
History
John Wishart leitete 1928 die Verteilung der Stichprobenkovarianzmatrix aus multivariaten Normaldaten ab, lieferte die für multivariate Schlussfolgerungen erforderliche Stichprobentheorie und gab der Verteilung ihren Namen.
Key figures
- John Wishart
- T. W. Anderson
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- muirhead1982
- mardia1979
Frequently asked questions
- Wie hängt die Wishart-Verteilung mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen?
- In einer Dimension reduziert sich die Wishart-Verteilung auf eine skalierte Chi-Quadrat-Verteilung; die Wishart-Verteilung erweitert dies auf die gemeinsame Verteilung von Varianzen und Kovarianzen in mehreren Dimensionen.
- Wofür wird die inverse Wishart-Verteilung verwendet?
- Sie dient als konjugierte A-priori-Verteilung für eine Kovarianzmatrix in Bayes'schen multivariaten Modellen und ermöglicht so handhabbare posteriore Aktualisierungen der Kovarianz.