Multivariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen beschreiben das gemeinsame probabilistische Verhalten mehrerer Zufallsvariablen und bilden die Grundlage, auf der multivariate Inferenz aufbaut.
Definition
Eine multivariate Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsgesetz für einen Zufallsvektor, das die gemeinsame Verteilung seiner Komponenten, einschließlich ihres Randverhaltens und ihrer Abhängigkeit, spezifiziert.
Scope
Dieser Bereich umfasst die zentralen Wahrscheinlichkeitsmodelle der multivariaten Statistik: die multivariate Normalverteilung und ihre Eigenschaften, die Wishart-Verteilung, die Stichprobenkovarianzmatrizen regelt, und Copula-Modelle, die das Randverhalten von der Abhängigkeitsstruktur trennen. Er behandelt gemeinsame, marginale und bedingte Verteilungen, Momente und die Rolle dieser Verteilungen bei der Schätzung und Hypothesentestung.
Sub-topics
Core questions
- Wie wird das gemeinsame Verhalten mehrerer Zufallsvariablen spezifiziert und charakterisiert?
- Welche Stichprobenverteilungen ergeben sich aus multivariaten Normaldaten?
- Wie kann Abhängigkeit getrennt von Randverteilungen modelliert werden?
- Welche Verteilungsannahmen rechtfertigen Standard-Multivariate-Verfahren?
Key theories
- Multivariate Normalverteilung als Grundlage
- Die multivariate Normalverteilung ist unter linearer Transformation, Marginalisierung und Konditionierung geschlossen, und ihr Mittelwertvektor und ihre Kovarianzmatrix spezifizieren sie vollständig, was sie zum zentralen Modell für multivariate Inferenz macht.
- Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeit
- Nach Sklar's Theorem kann jede gemeinsame Verteilung in ihre Randverteilungen und eine Copula, die die Abhängigkeit kodiert, zerlegt werden, wodurch die Abhängigkeit unabhängig von den Rändern modelliert werden kann.
Clinical relevance
Multivariate Verteilungen untermauern die Annahmen und die Stichprobentheorie nahezu jeder multivariaten Methode, und insbesondere Copula-Modelle werden zur Modellierung von Abhängigkeiten in den Bereichen Finanzen, Hydrologie und Risikoanalyse eingesetzt.
History
Die multivariate Normalverteilung und die Wishart-Stichprobenverteilung von Kovarianzmatrizen wurden im frühen zwanzigsten Jahrhundert etabliert und in der klassischen Theorie der multivariaten Analyse systematisiert. Die Copula-Theorie, die 1959 durch Sklar's Theorem formalisiert wurde, lieferte später einen flexiblen Rahmen für die Abhängigkeitsmodellierung.
Key figures
- T. W. Anderson
- John Wishart
- Abe Sklar
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- mardia1979
- muirhead1982
Frequently asked questions
- Warum ist die multivariate Normalverteilung so zentral?
- Sie entsteht als Grenzverteilung durch multivariates Zentralgrenzverhalten, ist mathematisch gut handhabbar und liegt der Stichprobentheorie für Mittelwerte, Kovarianzen und viele Teststatistiken in der multivariaten Analyse zugrunde.
- Was fügt eine Copula über die Randverteilungen hinaus hinzu?
- Eine Copula erfasst die Abhängigkeitsstruktur, die die Variablen miteinander verbindet, wodurch beliebige Randverteilungen mit einem gewählten Abhängigkeitsmuster kombiniert werden können.