Multivariate Normalverteilung
Die multivariate Normalverteilung verallgemeinert die Gaußsche Glockenkurve auf Zufallsvektoren, die vollständig durch einen Mittelwertvektor und eine Kovarianzmatrix charakterisiert sind.
Definition
Die multivariate Normalverteilung ist die gemeinsame Verteilung eines Zufallsvektors, dessen jede Linearkombination von Komponenten univariat normalverteilt ist, vollständig bestimmt durch ihren Mittelwertvektor und ihre Kovarianzmatrix.
Scope
Dieses Thema behandelt die Dichte- und charakteristische Funktion der multivariaten Normalverteilung, ihre Geschlossenheit unter linearer Transformation, Marginalisierung und Konditionierung, die Beziehung zwischen Nullkovarianz und Unabhängigkeit für Normalvariablen, die Geometrie ihrer elliptischen Konturen und der Mahalanobis-Distanz sowie ihre Rolle als angenommenes Modell in der klassischen multivariaten Inferenz.
Core questions
- Was charakterisiert die multivariate Normalverteilung?
- Wie verhalten sich marginale und bedingte Verteilungen eines Normalvektors?
- Warum tritt sie so oft als Modellannahme auf?
- Wie hängt ihre elliptische Geometrie mit der Mahalanobis-Distanz zusammen?
Key theories
- Abschlusseigenschaften
- Lineare Transformationen, Marginalen und Bedingte eines multivariaten Normalvektors sind selbst normalverteilt, und bedingte Mittelwerte sind linear mit konstanter bedingter Kovarianz, Eigenschaften, die die Verteilung außergewöhnlich handhabbar machen.
- Elliptische Geometrie und Mahalanobis-Distanz
- Die Konturen konstanter Dichte sind Ellipsoide, deren quadrierter Radius die Mahalanobis-Distanz vom Mittelwert ist, die einer Chi-Quadrat-Verteilung folgt und vielen multivariaten Teststatistiken zugrunde liegt.
Clinical relevance
Das multivariate Normalmodell rechtfertigt die Stichprobenverteilungen, die in multivariaten Tests und Schätzungen verwendet werden, und dient als Komponentenverteilung in der Gaußschen Diskriminanzanalyse und der Gaußschen Mischverteilungs-Clusteranalyse.
History
Die multivariate Normalverteilung wurde zusammen mit der Korrelations- und Regressionstheorie im frühen zwanzigsten Jahrhundert entwickelt und bildete die Grundlage der klassischen Theorie der multivariaten Analyse, die in Texten der Mitte des Jahrhunderts formalisiert wurde.
Debates
- Gültigkeit der Normalitätsannahme
- Viele klassische Verfahren setzen multivariate Normalität voraus, aber reale multivariate Daten zeigen oft dicke Enden oder Schiefe, was zu robusten und elliptischen Verteilungsalternativen sowie Tests auf multivariate Normalität führt.
Key figures
- T. W. Anderson
- Robb Muirhead
Related topics
Seminal works
- anderson2003
- mardia1979
- muirhead1982
Frequently asked questions
- Impliziert eine Nullkorrelation Unabhängigkeit für Normalvariablen?
- Für Komponenten eines einzelnen multivariaten Normalvektors sind unkorrelierte Komponenten tatsächlich unabhängig; diese Äquivalenz ist spezifisch für die Normalverteilung und gilt nicht für Verteilungen im Allgemeinen.
- Was ist die Mahalanobis-Distanz?
- Es ist ein skalen- und korrelationsbereinigter Abstand von einem Punkt zum Mittelwert; für multivariate Normaldaten folgt ihr Quadrat einer Chi-Quadrat-Verteilung und wird zur Erkennung von Ausreißern und in der Klassifikation verwendet.