Erwartungswert und Integration

Der Erwartungswert ist das Lebesgue-Integral einer Zufallsvariablen bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes, ein einziger Begriff, der Summen für diskrete Variablen und Integrale für kontinuierliche Variablen vereinheitlicht und mächtige Konvergenzsätze aus der Maßtheorie erbt.

Definition

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ihr Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes, das zunächst für nicht-negative Variablen als Supremum über einfache Approximationen konstruiert und dann auf integrierbare Variablen als Differenz von positiven und negativen Teilen erweitert wird.

Scope

Das Thema umfasst die Konstruktion des Erwartungswertes für einfache, nicht-negative und integrierbare Zufallsvariablen, die monotonen und dominierten Konvergenzsätze und Fatous Lemma, die Transformationsformel, die den Erwartungswert mit Integralen bezüglich der Verteilung in Beziehung setzt, Momente und die Lp-Räume sowie die Jensen-, Hölder-, Markov- und Chebyshev-Ungleichungen.

Core questions

• Wie wird der Erwartungswert für eine beliebige Zufallsvariable definiert, nicht nur für diskrete oder kontinuierliche?
• Unter welchen Bedingungen kann ein Grenzwert in einen Erwartungswert verschoben werden?
• Wie quantifizieren Momente und die Lp-Räume die Größe einer Zufallsvariablen?
• Welche Ungleichungen begrenzen Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte in Bezug auf Momente?

Key concepts

• Erwartungswert als Lebesgue-Integral
• monotone und dominierte Konvergenz
• Fatous Lemma
• Momente und Varianz
• Lp-Räume von Zufallsvariablen

Key theories

Monotone und dominierte Konvergenzsätze

Für monoton wachsende nicht-negative Zufallsvariablen ist der Erwartungswert des Grenzwertes gleich dem Grenzwert der Erwartungswerte, und für Sequenzen, die von einer integrierbaren Variablen dominiert werden, gilt derselbe Austausch, was die Grenzwertsätze liefert, die der elementaren Theorie fehlen.

Jensens Ungleichung

Für eine konvexe Funktion ist der Erwartungswert der Funktion einer Zufallsvariablen mindestens die Funktion ihres Erwartungswertes, was Momentenvergleiche, die Kontraktionseigenschaft des bedingten Erwartungswertes und viele Schranken in der gesamten Wahrscheinlichkeitstheorie liefert.

Markov- und Chebyshev-Ungleichungen

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht-negative Zufallsvariable ein Niveau überschreitet, ist durch ihren Mittelwert geteilt durch dieses Niveau begrenzt, und auf quadrierte Abweichungen angewendet, kontrolliert dies die Streuung in Bezug auf die Varianz und bietet den elementaren Weg zum schwachen Gesetz der großen Zahlen.

Clinical relevance

Der Erwartungswert und seine Ungleichungen werden überall dort verwendet, wo Größen unter Unsicherheit gemittelt werden: Sie definieren Mittelwerte, Varianzen und Risikomaße in Statistik und Finanzwesen, liefern die Konzentrationsgrenzen, die der Lerntheorie und randomisierten Algorithmen zugrunde liegen, und stellen die Konvergenzsätze bereit, die die Monte-Carlo-Schätzung rechtfertigen.

History

Sobald das Lebesgue-Integral verfügbar war, identifizierten Probabilisten den Erwartungswert mit der Integration bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes, eine Identifikation, die in Kolmogorows Rahmen explizit gemacht und mit ihren Konvergenzsätzen und klassischen Ungleichungen in den Standard-Lehrbüchern für Graduierte entwickelt wurde.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Johan Jensen
• Pafnuty Chebyshev
• Andrey Markov

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

Ist der Erwartungswert dasselbe wie der Durchschnitt über die Ergebnisse?

Im Wesentlichen ja: Es ist das Integral der Zufallsvariablen, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses, was sich für diskrete Variablen auf eine gewichtete Summe und für kontinuierliche Variablen auf ein gewöhnliches Integral bezüglich einer Dichte reduziert.

Wann kann ich einen Grenzwert und einen Erwartungswert vertauschen?

Der monotone Konvergenzsatz erlaubt dies für monoton wachsende nicht-negative Sequenzen, und der dominierte Konvergenzsatz erlaubt es, wenn die Sequenz durch eine feste integrierbare Variable begrenzt ist; ohne solche Bedingungen kann der Austausch fehlschlagen.