Transformationen und Momente

Funktionen von Zufallsvariablen haben eigene Verteilungen, die mittels Variablentransformationsformeln gefunden werden, und Momente sowie deren erzeugende Funktionen fassen eine Verteilung durch ihren Mittelwert, ihre Varianz und ihre Form höherer Ordnung zusammen.

Definition

Eine Transformation einer Zufallsvariablen ist eine messbare Funktion derselben, deren Verteilung durch Vorwärtsschieben des ursprünglichen Gesetzes erhalten wird, und Momente sind die Erwartungswerte von Potenzen einer Zufallsvariablen, die die Lage, Streuung und Form ihrer Verteilung zusammenfassen.

Scope

Das Thema umfasst die Verteilung von Funktionen einer oder mehrerer Zufallsvariablen mittels Variablentransformations- und Jacobi-Formeln, Momente und zentrale Momente, Varianz und Kovarianz, die momentenerzeugenden und kumulantenerzeugenden Funktionen, die Beziehungen zwischen Momenten, Kumulanten, Schiefe und Kurtosis sowie das Momentenproblem, wann Momente eine Verteilung bestimmen.

Core questions

• Wie wird die Verteilung einer Funktion von Zufallsvariablen aus der ursprünglichen Verteilung berechnet?
• Was messen die sukzessiven Momente einer Verteilung?
• Wie kodieren erzeugende Funktionen alle Momente auf einmal?
• Wann bestimmen die Momente einer Verteilung diese eindeutig?

Key concepts

• Variablentransformation und Jacobi-Determinante
• Momente und zentrale Momente
• Varianz und Kovarianz
• Kumulanten
• Momentenproblem

Key theories

Variablentransformationsformel

Für eine glatte, invertierbare Transformation ist die Dichte der transformierten Variablen die ursprüngliche Dichte, ausgewertet an der Inversen, skaliert mit dem Absolutwert der Jacobi-Determinante, was das Standardwerkzeug zur Ableitung des Gesetzes einer Funktion von Zufallsvariablen ist.

Momentenerzeugende und kumulantenerzeugende Funktionen

Sofern sie existiert, kodiert die momentenerzeugende Funktion alle Momente durch ihre Ableitungen am Ursprung, und ihr Logarithmus, die kumulantenerzeugende Funktion, besitzt Kumulanten, die sich bei unabhängigen Variablen addieren, was die Untersuchung von Summen vereinfacht.

Das Momentenproblem

Momente bestimmen eine Verteilung unter Wachstumsbedingungen wie der von Carleman eindeutig; jedoch können schwerfällige Verteilungen wie die logarithmische Normalverteilung alle Momente mit anderen teilen, sodass Momente nicht immer ein Gesetz charakterisieren.

Clinical relevance

Transformationen und Momente sind alltägliche Werkzeuge der angewandten Wahrscheinlichkeit: Die Ableitung der Verteilung einer transformierten Größe unterstützt Simulation und Fehlerfortpflanzung; Momente liefern die Mittelwerte, Varianzen und Korrelationen, die in der Statistik und Portfoliotheorie verwendet werden; und Schiefe und Kurtosis weisen auf Abweichungen von der Normalverteilung in der Risiko- und Qualitätskontrollanalyse hin.

History

Momente und das Momentenproblem waren zentral für die Arbeiten von Tschebyscheff, Markov und Stieltjes im 19. Jahrhundert, die Momentenmethoden nutzten, um frühe Grenzwertsätze zu beweisen; die Variablentransformationstechnik für Dichten ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Gegenstück zur Substitutionsregel aus der Analysis.

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

Bestimmen die Momente einer Verteilung diese immer eindeutig?

Nicht immer; unter bestimmten Wachstumsbedingungen für die Momente tun sie dies, aber einige Verteilungen, wie die logarithmische Normalverteilung, teilen jedes Moment mit anderen, unterschiedlichen Verteilungen, sodass die Momentenfolge das Gesetz nicht immer eindeutig festlegen kann.

Warum werden Kumulanten neben Momenten eingeführt?

Kumulanten addieren sich bei unabhängigen Zufallsvariablen, sodass sie sich für Summen einfacher verhalten als Momente; die zweite Kumulante ist die Varianz, und höhere Kumulanten messen Abweichungen von der Normalverteilung, wobei alle Kumulanten oberhalb der zweiten Ordnung für die Normalverteilung verschwinden.