Lebesgue-Integration

Das Lebesgue-Integral definiert das Integral einer messbaren Funktion, indem es diese durch einfache Funktionen annähert, die mit einem Maß gewichtet sind, wodurch ein Integral entsteht, das robust mit Grenzwerten interagiert.

Definition

Die Lebesgue-Integration definiert das Integral einer nicht-negativen messbaren Funktion als das Supremum der Integrale einfacher Funktionen, die unterhalb dieser liegen, und erweitert dies auf vorzeichenbehaftete und komplexe Funktionen durch Integration positiver und negativer Anteile, wodurch ein Integral entsteht, das bezüglich eines beliebigen Maßes definiert ist.

Scope

Dieses Thema behandelt einfache Funktionen und das Integral nicht-negativer messbarer Funktionen, das Integral allgemeiner und komplexwertiger Funktionen, den Satz von der monotonen Konvergenz, das Lemma von Fatou, den Satz von der dominierten Konvergenz, Aussagen über „fast überall“ und den Vergleich mit dem Riemann-Integral.

Core questions

• Wie wird das Integral aus einfachen Funktionen und einem Maß aufgebaut?
• Unter welchen Bedingungen kann ein Grenzwert in ein Integral verschoben werden?
• Was bedeutet es, dass eine Eigenschaft „fast überall“ gilt, und warum ist dies die richtige Vorstellung?
• Wie verhält sich die Lebesgue-Integration zum Riemann-Integral und wie erweitert sie dieses?

Key theories

Satz von der monotonen Konvergenz und Lemma von Fatou

Für nicht-negative messbare Funktionen ist das Integral eines zunehmenden Grenzwertes der Grenzwert der Integrale, und im Allgemeinen überschreitet das Integral eines Limes inferior nicht den Limes inferior der Integrale, die grundlegenden Werkzeuge zur Übertragung von Grenzwerten durch Integrale.

Satz von der dominierten Konvergenz

Wenn Funktionen fast überall konvergieren und in ihrer Größe durch eine feste integrierbare Funktion beschränkt sind, ist der Grenzwert ihrer Integrale gleich dem Integral des Grenzwertes, der am häufigsten verwendete Vertauschungssatz der Integration.

Clinical relevance

Das Lebesgue-Integral ist der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitstheorie und das Integral, das der Fourier- und Funktionalanalysis zugrunde liegt; seine Konvergenzsätze rechtfertigen den Austausch von Grenzwerten, Summen und Integralen in Ableitungen in der gesamten Physik, Statistik und angewandten Mathematik, und sie machen die Lp-Funktionsräume vollständig.

History

Lebesgue definierte sein Integral 1902, und die Konvergenzsätze wurden bald darauf etabliert, wobei das Lemma von Fatou in seiner Arbeit über Reihen von 1906 und Levis Satz von der monotonen Konvergenz ebenfalls 1906 erschienen. Diese Ergebnisse gaben der Analysis ihr modernes, grenzwertfreundliches Integral.

Key figures

• Henri Lebesgue
• Pierre Fatou
• Beppo Levi

Seminal works

• folland1999
• axler2020

Frequently asked questions

Was bedeutet „fast überall“?

Eine Aussage gilt „fast überall“, wenn die Menge, auf der sie nicht gilt, das Maß Null hat; das Lebesgue-Integral kann Änderungen auf solchen Mengen nicht erkennen, daher haben Funktionen, die fast überall gleich sind, dasselbe Integral.

Warum sind die Konvergenzsätze der Hauptnutzen?

Die Sätze von der monotonen und dominierten Konvergenz ermöglichen es, Grenzwerte unter milden Hypothesen in Integrale zu verschieben, was genau die Flexibilität ist, die dem Riemann-Integral fehlt und auf der Wahrscheinlichkeit und Analysis basieren.